高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(无师自通)

1、无师自通核心讲义 严禁复制 1 1. 1. 均值不等式法均值不等式法 例例 1 1 设. ) 1(3221+=nnSn?求证. 2 ) 1( 2 ) 1( 2 + + +n nnfff? 例例 3 3 求证), 1(2 2 1 321 NnnnCCCC n n nnnn + ? . 例例 4 4 已知 222 12 1 n aaa+=L ， 222 12 1 n xxx+=L ，求证： nnx axaxa+? 2211 1. 2 2利用有用结论利用有用结论 例例 5 5 求证 . 12) 12 1 1 () 5 1 1)( 3 1 1)(11 (+ +n n ? 例例 6 6 已知函数. 2, 10 , ) 1(321 lg)(xxfxf对任意 Nn且2n恒成立。 例例 7 7 已知 11 2 11 1,(1). 2 nn n aaa nn + =+ + )(I用数学归纳法证明2(2) n an； )(II对ln(1) xx+都成立，证明 2 n aeL。 2 logn表示不超过n 2 log的最大整数。设正数数列 n a满足：. 2,),0( 1 1 1 + = n an na ab

2、ba n n n 求证. 3, log2 2 2 + , 1，求证 )2)(1( 8 ) 3 2 ( + nan对一切正整数n成立； 5 5 利用单调性放缩利用单调性放缩: : 构造函数 例例 14 14 已知函数 2 2 3 )(xaxxf= 的最大值不大于 6 1 ，又当 2 1 , 4 1 x 时 . 8 1 )(xf （）求a的值； （）设 + = ax，, 2 1 1 += + n nn x a xxNn （I） 证明：对2n总有axn；(II) 证明：对2n总有 1+ nn xx 6 . 6 . 换元放缩换元放缩 例例 16 16 求证 ).2,( 1 2 11 +a，Nnn , 2，求证 4 ) 1( 22 an an. 7 7 转化为加强命题放缩转化为加强命题放缩 例例 1818 设10 n a 例例 19 19 数列 n x满足., 2 1 2 2 11 n x xxx n nn += + 证明.1001 2001 m ，有 8 7111 54 ， 2 112 1(1)3 n n ax xx + ，12n =L， ，； （）证明： 2 12 1 n n aaa n +

3、 + L 例例 2525 已知函数 f(x)=x 2-1(x0)，设曲线 y=f(x)在点（x n,f(xn)）处的切线与 x 轴的交点为（xn+1,0）(nN *). () 用 xn表示 xn+1； （）求使不等式 1nn xx + 对一切正整数 n 都成立的充要条件，并说明理由； （）若 x1=2，求证：. 3 12 1 1 1 1 1 1 21 + + + + + n n xxx ? 例例 1 1 解析解析 此数列的通项为此数列的通项为., 2 , 1, ) 1(nkkkak?=+= 2 1 2 1 ) 1(+= + + =+ + 1 (1)( )(1) 2 2 ff n+ L 2 11 (1)(1) 2 22 2n + L 11 11111 (1). 42222 nn nn + =+=+L 例例 3 简析简析 不等式左边不等式左边 123n nnnn CCCC+L= = 12 222112 += nn ? nn n 12 2221 ?= = 2 1 2 n n，故原结论成立，故原结论成立. . 例例 4 4 【解析】使用均值不等式即可：因为 22 ( ,) 2 xy xyx y

4、R + ，所以有 222222 1122 1 122 222 nn nn axaxax a xa xa x + +LL 222222 1212 11 1. 2222 nn aaaxxx+ =+=+= LL 其实，上述证明完全可以改述成求 nnx axaxa+? 2211 的最大值。本题还可以推广为： 若 222 12n p a aa +=L ， 222 12 ( ,0) n q p q xxx +=L ， 试求 nnx axaxa+? 2211 的最大值。 请分析下述求法：因为 22 ( ,) 2 xy xyx yR + ，所以有 222222 1122 1 122 222 nn nn axaxax a xa xa x + +LL 222222 1212 . 222 nn aaaxxxpq+ =+= LL 故 nnx axaxa+? 2211 的最大值为 2 pq+ ，且此时有(1,2, ) kk ax kn=L。 上述解题过程貌似完美， 其实细细推敲， 是大有问题的： 取 “” 的条件是(1,2, ) kk ax kn=L， 即必须有 22 11 nn kk kk ax = = ，

5、即只有 p=q 时才成立！那么，pq呢？其实例 6 的方法照样可用，只需做稍稍变形转化： 222222 1212 222222 1,1, ()()()()()() nn pppqqq axaaxx +=+=LL 无师自通核心讲义 严禁复制 5 则有 1 122 1 122 nn nn a xa xa x a xa xa xpq pq + += L L 222222 1212 222222 ()() 2()()()()()() nn pq pq pppqqq axaaxx +=LL 于是， 1 122max () nn a xa xa xpq+=L，当且仅当 (1,2, ). kk ax kn pq =L 结合其结构特征，还可构造向量求解：设 1212 ( ,),( ,) nn ma aanx xx= u rr LL，则 由| | |m nm n u r ru rr 立刻得解： 222222 1 1221212 |. nnnn a xa xa xaaaxxxpq+=LLL 且取“”的充要条件是： 12 12 n n xxx aaa =L 。 2 2利用有用结论利用有用结论 例例 5 5

6、简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法 1 利用假分数的一个性质)0, 0( + + mab ma mb a b 可得 12 2 5 6 3 4 1 2 n n ?= + n n 2 12 6 7 4 5 2 3 ?) 12( 2 12 6 5 4 3 2 1 + n n n ?12) 12 2 5 6 3 4 1 2 ( 2 + n n n ? 即. 12) 12 1 1 () 5 1 1)( 3 1 1)(11 (+ +n n ? 法 2 利用贝努利不等式)0, 1, 2,(1)1 (+ xxnNnnxx n 的一个特例 12 1 21) 12 1 1 ( 2 + + kk (此处)得 12 1 , 2 = k xn， = + + + = ) 12 1 1 ( 12 12 12 1 1 1 kk k k n k . 12 12 12 1 += + = n k k n k 例例 6 6 简析 高考标准用数学归纳法证明， ；这里给出运用柯西（Cauchy）不等式 = n i i n i i n i ii baba 1 2 1 22 1 )(的简捷证 法： )(2)2(xfxf + n

7、 nan xxxx2222 ) 1(321 lg ? n nan xxxx +) 1(321 lg2 ? 2 ) 1(321 xxxx nan+?) 1(321 2222xxxx nann+）的结构特征，可得放缩思路： + + + +n n n a nn a) 2 11 1 ( 2 112 11 lnln(1)ln 2 nn n aa nn + + + n n nn a 2 11 ln 2 + + +。 于是 n nn nn aa 2 11 lnln 2 1 + + + ， 无师自通核心讲义 严禁复制 6 . 2 2 11 2 2 1 1 ) 2 1 (1 1 1lnln) 2 11 ()ln(ln 1 1 2 1 1 1 1 1 ）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可 用结论)2)(1(2nnn n 来放缩： + + + ) 1( 1 ) ) 1( 1 1 ( 1 nn a nn a nn1 1 1(1)(1) (1) nn aa n n + + + 1 11 ln(1)ln(1)ln(1). (1)(1) nn aa n nn n + +log 2 1

8、11 2 1 n aan . log2 2 2n b b an + +? 来进行有效地放缩； 再如：再如： 【解析】 （）1； （）证明：由（）得1 x ex+，对 x1 有(1)n nx xe+，利用此结论进行巧妙赋值： 取1,1,2, k xkn n =L，则有 1210 1 1 ( ) 1211111 ( )( )( )( )( )( )( ) 11 1 11 n nnnnn ne e nnneeeee ee += ab则)() 1( 11 abbnab nnn + + （） ，以 n b n a 1 1, 1 1 1+= + +=代入（）式得 + + +1 ) 1 1 1 ( n n .) 1 1 ( n n +。即 n a单调递增。以 n ba 2 1 1, 1+=代入（）式得 . 4) 2 1 1 ( 2 1 ) 2 1 1 (1 2 nn nn 。此式对一切正整数n都成立，即对一切偶数有4) 1 1 (=kkkkkk（只将其中一个k变成1k，进行部分放缩） ， kkkkk 1 1 1 ) 1( 11 2 = += + kkkkakaaa kkkk ，成立。 )(ii利用上述部分放缩的结论12 1 + +kk aa 来放缩通项，可得 + + ) 1(21 1kk aa 111 1 12(1)242 kkk k aa + + +=L 1 11 12k k a + + 1 11 1 1 ( ) 1111 2 . 1 1242 1 2 n nn i ii i a + = = + 【注】上述证明)(i用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：31)2)(2( 1 + + kkkkak； 证明)(ii就直接使用了部分放缩的结论12 1 + +kk aa。 例例 12 12 简析 观察 n ) 3 2 (的结构，注意到 nn ) 2 1 1 () 2 3 (+= ，展开得 123 23 1111 (1)1 2222 n nnn CCC+= +L (1)(1)(2)6 1 288 nn nnn+ += 即 8 )2)(1( ) 2 1 1 ( + + nn n ，得证. 例例 1313简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（）进行减项放缩，有 法 1 用数学归纳法（只考虑第二步）1) 1(2212 1 2 2 2 1 2 +=

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