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2015年方浩概率强化讲义5

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1、第五章第五章大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理（一一）切比雪夫不等式切比雪夫不等式 X的数学期望的数学期望E(X)= ，方差，方差 2 ()D X 都都存在，则对任意正数存在，则对任意正数 2 2 1 D X P XE X D X P XE X 二、二、大数定律大数定律 1.1.依概率收敛依概率收敛对于对于 12 , n XXX， lim1 n n PXa ，则称随机变量序列，则称随机变量序列 12 , n XXX依概率收敛于依概率收敛于a，记为，记为 P n Xa 2.2.切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律条件条件 12 , n XXX相互相互独立独立；期望期望 k EX，方差方差 k DX都存在；都存在；方差方差 k DX有公共有公共上界上界；结论结论对对任意任意0 11 11 lim1 nn ii n ii PXEX nn . . 3.3.辛钦大数定律辛钦大数定律条件条件 12 , n XXX独立独立；服从同一分布；服从同一分布；数学期望数学期望 k E X 存在存在结论结论对于任意对于任意0 1 1 lim1 n k

2、n k PX n 4.4.伯努利大数定律伯努利大数定律条件条件 X是是n重伯努利试验中事件发生的次重伯努利试验中事件发生的次数数, ,p是事件在每次试验中发生的概率是事件在每次试验中发生的概率结论：对结论：对任意任意0 lim1 n X Pp n （三三）中心极限定理中心极限定理 1.1.列维列维-林德伯格中心极限定理林德伯格中心极限定理条件条件：随机：随机变量变量 12 , n XXX相互独立相互独立，同分布同分布, , k E X , , 2 0 k D X 存在存在结论结论： 2 1 2 1 lim 2 n tk x k n Xn Pxe n 2.2.棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理条件条件：随机变量随机变量 , n XB n p 结论结论：对任意实数对任意实数x 2 2 1 lim( ) (1)2 t x n n Xnp Pxedtx npp . . 【例】【例】设随机变量设随机变量X和和Y的数学期望分别的数学期望分别- -2 2 和和 2 2，方差分别，方差分别 1 1 和和 4 4，而相关系数为，而相关系数为- -0.50.5，则

3、根据切比雪夫不等式有则根据切比雪夫不等式有6P XY _ 【例】【例】设随机变量序列设随机变量序列 12 , n XXX相互相互独立独立且服从参数为且服从参数为的指数分布，下面随机的指数分布，下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件是是 ( )( ) 1, , n A XX 1 1, n B XXn 1, , n C XnX 1 1 , n D XX n 【P367P367，例例 2 2】设设 12 , n XXX是相互独立是相互独立的随机变量序列，的随机变量序列， 1,2, k Xkn 服从服从参数为参数为 2 2 的指数分布，则当的指数分布，则当n时时 2 1 1 n ni i YX n 依概率收敛于依概率收敛于_ 【P368,P368,例例1 1】设随机变量设随机变量 12 , n XXX相互相互独立，独立， 12nn SXXX, ,根据列维根据列维林林德柏格中心极限定理德柏格中心极限定理, ,当当n充分大时充分大时, , n S近似近似服从正态分布服从正态分布, ,只要只要 12 , n XXX( ( ) ) A有相同有相

4、同数学期望数学期望. . B有相同的方差有相同的方差 C服从同一指数分布服从同一指数分布 D服从同一离散服从同一离散分布分布【P369,P369,例例 1 1】设设 12 , n XXX为相互独立为相互独立随机变量随机变量, ,且均服从参数为且均服从参数为指数分布，则指数分布，则 (A)(A) 1 lim( ) n i i n Xn Pxx n (B) (B) 1 lim( ) n i i n Xn Pxx n (C) (C) 1 lim( ) n i i n Xn Pxx n (D) (D) 2 1 lim( ) n i i n Xn Pxx n 【例【例】设设 12 , n XXX为相互独立为相互独立随机变量，随机变量，且均服从且均服从 , a b上上均匀分布，则（均匀分布，则（） An充分大时，充分大时， 1 2() () n i i Xn ab ban 近似服从近似服从 (0,1)N Bn充分大时充分大时 , , 1 n i i X 近似服从近似服从 2 ( (), () )N n ab n ba Cn充分大时，充分大时， 1 1 n i i X n 近似服从近似服从 2 (,() )N ab ba Dn充分大时，充分大时， 1 1 n i i X n 近似服从近似服从 2 , 212 baab N n 【P368P368，例，例 3 3】一一生产线生产的产品成箱包生产线生产的产品成箱包装，装，假设每箱平均重假设每箱平均重量为量为 5050 千克，标准差千克，标准差为为 5 5 千克，若用最大载重量为千克，若用最大载重量为 5 5 吨的汽车承吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977.0.977.（ 20.977，其中，其中 x 是标准正态是标准正态分布函数）分布函数）. .

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