北京市朝阳区2017届高三上学期期末统考数学(理)试题

1、1 北京市朝阳区 2016-2017 学年度第一学期统一考试 高三年级数学试卷（理工类）20171 （考试时间 120 分钟满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 第一部分（选择题共第一部分（选择题共 40 分）分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项 1已知全集，集合，则U R12 x xA20Bx x() UA B AB |2x x 02xx CD |02xx |2x x 2在复平面内，复数对应的点位于 2 1 i A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是 0, 1 A B C D cosyx 2 yx 1 ( ) 2 x y |sin|yx 4若，且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函0a 1a x yaR 3 (2)ya xR 数”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5从中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是0,1,2,3,4 ABC

2、D681012 6某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角 三角形，则该四棱锥的体积为 AB 2 2 3 4 31 2 俯视图 正视图 侧视图 1 2 CD24 7在中，点 D 是边上的动点，且，,Rt ABC90ABC3AB 4AC ()，则当取得最大值时,的值为ADABAC 0,0AD ABCD 7 2 3 5 2 12 5 8某校高三（1）班 32 名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试跳远和掷实心球两项测试 成绩合格的人数分别为 26 人和 23 人，这两项成绩都不合格的有 3 人，则这两项成绩都合格的人数 是 ABCD23202119 第二部分（非选择题共第二部分（非选择题共 110 分）分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡上 9已知双曲线的一条渐近线方程为，则等于 22 2 1(0) 4 xy b b 320xyb 10已知等差数列的前 n 项和为若， n a n S 1 2a 32 aS 则=， 2 a 10 S 11执行如图所示的程序框图，则输出的结果为S 12在中，已知，则ABC45 ,2BACBCC 13设 D 为

3、不等式组表示的平面区域，对于区域 D 内除原点外的任一点，则 0, 0, +33 xy xy xy ( , )A x y 的最大值是_；的取值范围是2xy 22 xy xy 14若集合满足：，都有，则称集合是封闭的显然，整数M, x yM,xyM xyMM 开始 0,1Si 是 否 6?i 输出S 结束 2ii 2SSi 3 集，有理数集都是封闭的对于封闭的集合（） ，：是从集合到集ZQMM RfMMM 合的一个函数，M 如果都有，就称是保加法的；, x yM()( )( )f xyf xf yf 如果都有，就称是保乘法的；, x yM()( )( )f xyf xf yf 如果既是保加法的，又是保乘法的，就称在上是保运算的ffM 在上述定义下，集合封闭的（填“是”或“否” ） ；若函数在上保运 3,mn m nQ( )f xQ 算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数( )=f x 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题满分 13 分） 已知函数 2 ( )2 3sincos2cos1f xxxx （）求的最小正周

4、期；( )f x （）求在区间上的最大值和最小值( )f x, 6 4 16 （本小题满分 13 分） 甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩 中随机抽取 8 次，记录如下： 甲：8281797895889384 乙：9295807583809085 （）用茎叶图表示这两组数据； （）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同 学参加较为合适？并说明理由； （）若对甲同学在今后的 3 次测试成绩进行预测，记这 3 次成绩中高于 80 分的次数 为（将甲 8 次成绩中高于 80 分的频率视为概率） ，求的分布列及数学期望 E 17 （本小题满分 14 分） 在如图所示的几何体中，四边形为正方形，四边形为直角梯形，且 ABCDABEF F A DC B E 4 平面平面 /,AFBE ABBEABCD,ABEFAB .22ABBEAF （）求证：平面； /ACDEF （）若二面角为直二面角，DABE （i）求直线与平面所成角的大小；ACCDE （ii）棱上是否存在点，使得平面?DEPBP DEF 若存在，求出的值；若不存

5、在，请说明理由 DP DE 18 （本小题满分 13 分） 已知椭圆上的动点与其顶点,不重合 22 :1 32 xy CP(3,0)A ( 3,0)B （）求证：直线与的斜率乘积为定值；PAPB （）设点，在椭圆上，为坐标原点，当,时，求的面积MNCO/OM PA/ON PBOMN 19（本小题满分 14 分） 设函数， 2 ( )ln(1)1f xxaxx 2 ( )(1)exg xxaxRa （）当时，求函数在点处的切线方程；1a ( )f x(2,(2)f （）若函数有两个零点，试求的取值范围；( )g xa （）证明( )( )f xg x 20 （本小题满分 13 分） 设是正整数，数列，其中是集合中(3)m,nmn: m A 12m a ,a ,a(1) i aim 1 2 3, , ,n 互不相同的元素若数列满足：只要存在使，总存在 m A1i, jijm （） ij aan1kkm（） 有，则称数列是“好数列” ijk aaa m A （）当时，6100m,n （）若数列是一个“好数列” ，试写出的值，并判断数列： 6:11 78 97 90A,x,y,x,y 是否是一

6、个“好数列”？11 78 9097,x,y 5 （）若数列是“好数列” ，且，求共有多少种不 6:11 78 A,a,b,c,dabcda,b,c,d 同的取值？ （）若数列是“好数列” ，且是偶数，证明： m Am 12 1 2 m aaan m 北京市朝阳区 2016-2017 学年度第一学期高三年级统一考试 数学答案（理工类）20171 一、选择题：（满分一、选择题：（满分 40 分）分） 题号12345678 答案BDD ACBCB 二、填空题：（满分二、填空题：（满分 30 分）分） 题号91011121314 答案34, 11030105， 9 4 2,0是，( ),f xx xQ （注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分） 三、解答题：（满分 80 分） 15 （本小题满分 13 分） 解：（）因为 2 ( )2 3sincos2cos1f xxxx xx2cos2sin3 2sin(2) 6 x 所以的最小正周期为7 分)(xf 6 （）因为 2 ,2. 64663 xx 所以- 当时，取得最大值；2, 626 xx 即)(xf2 当取得最小值13 分2,( )

7、 666 xxf x 即时1 16 （本小题满分 13 分） 解：（）作出茎叶图如下： 4 分 （）派甲参赛比较合适理由如下： ， 1 x7028049028912483585 8 甲 ， 1 x70 180490 35003502585 8 乙 22222 2 1 s7885798581 8582858485 8 甲 ， 222 88859385958535.5 22222 2 1 s75858085808583858585 8 乙 222 90859285958541. 因为，x 甲 x乙 22 ss 乙甲 所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适8 分 注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回 答，同样给分如 派乙参赛比较合适理由如下： 从统计的角度看，甲获得 85 分以上（含 85 分）的频率为， 1 3 8 f 乙获得 85 分以上（含 85 分）的频率为 2 41 82 f 甲乙 98 8421 53 5 0035 025 7 8 9 7 因为，所以派乙参赛比较合适 21 ff （）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于 80 分”为事件 A，

8、 9 分 63 A 84 P 随机变量的可能取值为 0，1，2，3，且 3 (3,) 4 B ， 3 3 31 C 44 kk k Pk k0,1, 2,3 所以变量的分布列为： 0123 P 1 64 9 64 27 64 27 64 11 分 1927279 0123 646464644 （或）13 分 39 3. 44 nP 17 （本小题满分 14 分） 证明：（）连结，设，BDACBDO 因为四边形为正方形， ABCD 所以为中点OBD 设为的中点，连结，GDE,OG FG 则，且/OGBE 1 2 OGBE 由已知，且，/AF BE 1 2 AFBE F A DC B E O G 8 所以/,AF OG OGAF 所以四边形为平行四边形 AOGF 所以，即 /AOFG/ACFG 因为平面，平面， AC DEFFG DEF 所以/平面5 分ACDEF （）由已知，/,AFBE ABBE 所以AFAB 因为二面角为直二面角，DABE 所以平面平面ABCD ABEF 所以平面，AF ABCD 所以,AFAD AFAB 四边形为正方形，所以 ABCDABAD 所以两两垂直,AD AB AF 以为原点，分别为轴建立空间直A,AD AB AF, ,x y z 角坐标系（如图） 因为， 22ABBEAF 所以，(0 0 0),(0,2,0),(2,2,0),(2 0 0),(0,2,2),(0,0,1)ABCDEF， 所以(2,2,0),(0, 2,0),( 2,0,2)ACCDCE

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