薄板屈曲

1、薄板的屈曲,能量法计算板的弹性失稳荷载,主要内容:,不同面内荷载作用下板的弹性失稳,小挠度理论板的弹性曲面微分方程,几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件,板稳定理论在钢结构设计中的应用,钢结构中板的分类：,第6章 薄板的屈曲,厚板： 受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不 能忽略剪切变形的影响。,薄板： 受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计。,薄膜： 受力特点：没有抗弯刚度，依靠薄膜拉力与横向荷载平衡。,板失稳的特点：,第6章 薄板的屈曲,板屈曲时产生出平面的双向弯曲变形（凸曲现象），故板上任何一 点的弯矩 、 和扭矩 以及板的挠度 都与此点的坐标有关。,板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理 想矩形板可直接求解分叉屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条 件的板，用平衡法很难求解；需用能量法或数值法求解。,理想薄板失稳属于稳定的分叉失稳。对于有刚强侧边支撑的板，会 产生薄膜应力，提高钢板屈曲后的强度（屈曲后强度）。,按照小挠度理论分析只能得到板的分叉屈曲荷载，根据大挠度理论 分析才能得到板的屈曲后强度和板的挠度。,小挠度理论

2、板的弹性曲面微分方程,第6章 薄板的屈曲,基本假定：,垂直于中面方向的正应变很小，可以忽略。即中面任何一根法线上， 薄板全厚度内的所有点具有相同的挠度；且可以忽略中面因弯曲变 形伸长而产生的薄膜应力。,应力分量 、 和 远小于 、 和 ，故可以忽略他们产生的 正应变 、剪应变 和 。薄板小挠度弯曲问题可简化为平面应 力问题。,薄板弯曲时，中面内各点不产生平行于中面的应变。即在xy平面上 的投影形状不变。类似于受弯构件平截面假定。,板为各向同性的弹性体，应力与应变关系服从虎克定律。,小挠度理论板的弹性曲面微分方程,第6章 薄板的屈曲,弹性曲面微分方程,以弯曲变形后的状态建立x、y、z方向力的平衡方程和绕x轴、y轴的 力矩的平衡方程，合并后有：,为板的抗弯刚度；,为板中面沿x、y轴方向单位长度上的应力；,为板中面单位长度上的剪力。,小挠度理论板的弹性曲面微分方程,第6章 薄板的屈曲,单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载,单向（x方向）均匀受压四边简支板， 由,均匀受压简支板,小挠度理论板的弹性曲面微分方程,第6章 薄板的屈曲,单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载,边界条件：,、 时：,、 时：,代

3、入平衡方程有：,满足上式的唯一条件是每一项系数中括号内的式子为零：,或,小挠度理论板的弹性曲面微分方程,第6章 薄板的屈曲,单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载,临界荷载为板保持微弯曲状态的最小荷载，故取n1；,k为屈曲系数，且：,由 ，有,均匀受压板的屈曲应力与板的宽厚比 的平方成反比，而与板的长度无关。,小挠度理论板的弹性曲面微分方程,第6章 薄板的屈曲,单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载,板件屈曲系数（四边简支）,能量法计算板的弹性失稳荷载,第6章 薄板的屈曲,板在微弯状态时的总势能为：,能量法计算板的弹性失稳荷载,第6章 薄板的屈曲,瑞利-里兹法,要求假定的挠曲面函数符合板的几何边界条件。,假定挠曲面函数为：,代入总势能公式，积分后利用势能驻值原理，有：,系数行列式为零,板的屈曲方程,能量法计算板的弹性失稳荷载,第6章 薄板的屈曲,瑞利-里兹法,算例：求解单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。板的两加载边和 一个非加载边简支，另一非加载边自由。,假定挠曲面函数为：,代入总势能公式，积分后有：,由 ，有总势能为：,由势能驻值原理，有：,能量法计算板的弹性失稳荷载,第6章 薄板的屈曲,瑞利-里兹

4、法,若取 ，则：,令 ，可得px的最小值：,均匀受压三边简支一边自由,能量法计算板的弹性失稳荷载,第6章 薄板的屈曲,迦辽金法,要求假定的挠曲面函数符合板的几何和自然边界条件。,假定挠曲面函数为：,板的平衡微分方程为：,积分,关于Ai的线性方程组,建立迦辽金方程组：,系数行列式为零,板的屈曲方程,能量法计算板的弹性失稳荷载,第6章 薄板的屈曲,迦辽金法,算例：求解单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。板的两加载边 简支，两非加载边固定。,假定挠曲面函数为：,建立迦辽金方程：,板的平衡微分方程：,由 ，有：,能量法计算板的弹性失稳荷载,第6章 薄板的屈曲,不同边界条件单向均匀受压板的屈曲系数,屈曲系数 与 的关系,对于很宽的薄 板，采用纵向加 劲肋减小宽度b 是有效的。 加载边固定与加 载边简支对屈曲 系数的影响：当 a/b2时提高幅 度很大。,对于单向均匀受 压的狭长板，用 横向加劲肋减小 比值a/b从而提 高屈曲系数并无 明显效果； 如把加劲肋间距 取得小于2b又很 不经济。,不同面内荷载作用下板的弹性失稳,第6章 薄板的屈曲,单向非均匀受压板的弹性失稳,规定压应力为正值，拉应力 为负值，应

5、力梯度为：,非均匀受压简支板,距离上边缘y处的应力为：,为均匀受压；,为纯弯矩作用。,用里兹法求解屈曲荷载,假定符合简支边界条件的挠曲面函数为：,不同面内荷载作用下板的弹性失稳,第6章 薄板的屈曲,单向非均匀受压板的弹性失稳,作用于板中面单位长度荷载为：,由总势能公式有（ ）：,带入w及px,不同面内荷载作用下板的弹性失稳,第6章 薄板的屈曲,单向非均匀受压板的弹性失稳,取二重三角级数的前三项，且m1；由势能驻值原理有：,由系数行列式为零，即可求出屈曲荷载。,不同面内荷载作用下板的弹性失稳,第6章 薄板的屈曲,单向非均匀受压板的弹性失稳,临界应力为：,其中屈曲系数为：,时，令 ，则纯弯曲板的屈曲荷载为：,纯弯曲板的屈曲系数,不同面内荷载作用下板的弹性失稳,第6章 薄板的屈曲,均匀受剪板的弹性失稳,非均匀受压简支板,对角线方向因受压而屈曲， 板屈曲波长与另一对角线方 向的拉力有关，对于长板， 屈曲时的半波长度约为板宽 的1.25倍。,用迦辽金法求解屈曲荷载,板的平衡方程为：,板中面力为： ，,第6章 薄板的屈曲,假定挠曲面函数为：,建立迦辽金方程组：,不同面内荷载作用下板的弹性失稳,均匀

6、受剪板的弹性失稳,积分后有：,屈曲方程,第6章 薄板的屈曲,对于矩形板，精确分析后可知：,不同面内荷载作用下板的弹性失稳,均匀受剪板的弹性失稳,临界应力为：,均匀受剪板的屈曲系数,ks为剪切屈曲系数（P141，表6.1）,不同面内荷载作用下板的弹性失稳,第6章 薄板的屈曲,一个边缘受压的四边简支板的临界应力,非均匀受压,当压应力非均匀分布时，四边简支板：,当压应力均匀分布时：,吊车梁腹板：,均匀受压,设计中考虑翼缘对腹板的约束，对k修正。,几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件,第6章 薄板的屈曲,用横向加劲肋加强的梁腹板,设置横向加劲肋的梁,梁腹板同时受弯曲正应力、均布剪应力， 还可能存在边缘压应力。当这些应力达到 某种组合的一定值时，腹板将由平板稳定 状态变为微曲的平衡状态。临界状态的相 关方程为：,腹板受力,为由平均弯矩产生的腹板计算高度 边缘的弯曲应力；,为由平均剪力产生的腹板平均剪应力；,为腹板边缘的局部压应力；,几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件,第6章 薄板的屈曲,同时用横向加劲肋和纵向加劲肋加强的梁腹板,加劲肋的设置,区隔：,腹板受力,区隔：,几种边缘荷载共同作用下薄板

7、的临界条件,第6章 薄板的屈曲,同时用横向加劲肋、受压区纵向加劲肋、短加劲肋加强的梁腹板,加劲肋的设置,区隔：,区隔：,几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件,第6章 薄板的屈曲,偏心受压柱的腹板,偏心受压柱的腹板，不能忽略剪应力的影响，应按承受单向线性 分布压力和均布剪应力共同作用的薄板考虑。临界状态的相关方 程为：,偏心受压柱的腹板,为应力梯度；,板稳定理论在钢结构设计中的应用,第6章 薄板的屈曲,轴心受压构件中板件的局部稳定设计,考虑板件之间的相互约束作用，可得到板件临界应力的一般公式为：,局部失稳临界应力不小于构件整体稳定应力：,轴心受压构件的局部失稳,板稳定理论在钢结构设计中的应用,第6章 薄板的屈曲,轴心受压构件中板件的局部稳定设计,不考虑腹板对翼缘的约束作用，弹性约束（嵌固）系数取1.0， 屈曲系数为0.425：,工字型截面翼缘宽厚比,考虑翼缘对腹板的约束作用，弹性约束（嵌固）系数取1.3， 屈曲系数为4：,工字型截面腹板高厚比,其他构件截面板件宽厚比限值见表6.2（P151）。,板稳定理论在钢结构设计中的应用,第6章 薄板的屈曲,受弯构件中板件的局部稳定设计,热轧型钢：板

8、件宽厚比较小，能够满足局部稳定要求； 冷弯薄壁型钢：参考冷弯薄壁型钢技术规范GB50018 钢结构焊接组合梁：分别考虑翼缘和腹板的局部稳定,梁的局部失稳,板稳定理论在钢结构设计中的应用,第6章 薄板的屈曲,梁的受压翼缘受均布压应力作用，不考虑腹板对翼缘的约束作 用，弹性约束（嵌固）系数取1.0，屈曲系数为0.425，弹性模 量折减系数取0.25，代入临界应力公式，有：,受压翼缘的局部稳定设计,当梁在绕强轴的弯矩作用下的强度按弹性设计时，宽厚比可放宽为：,受弯构件中板件的局部稳定设计,箱形梁翼缘板在两腹板之间的部分，弹性约束（嵌固）系数取1.0， 屈曲系数为4，弹性模量折减系数取0.25，代入临界应力公式，有：,板稳定理论在钢结构设计中的应用,第6章 薄板的屈曲,腹板的局部稳定设计,受弯构件中板件的局部稳定设计,根据规范布置加劲肋，计算各区隔板的各种应力和临界应力， 使其满足稳定条件。,腹板加劲肋的布置,板稳定理论在钢结构设计中的应用,第6章 薄板的屈曲,压弯构件中板件的局部稳定设计,与梁的受压翼缘相同。,受力与偏心受压柱腹板相同，工字型截面在平均剪应力和不均匀 正应力的作用下，临界条件为：,腹板的高厚比 工字型截面,经分析，平均剪应力取腹板弯曲应力的0.3倍，即可得到：,弹性,塑性,翼缘的宽厚比,板稳定理论在钢结构设计中的应用,第6章 薄板的屈曲,压弯构件中板件的局部稳定设计,当 时，腹板宽厚比限值采用与翼缘相同； 当 时，放宽此限值，见表6.4（P155）。,T形截面的腹板,考虑两腹板受力可能不一致，且翼缘对腹板的约束也不如工字 型截面（单侧角焊缝），箱形截面腹板高厚比限值取工字型截 面的0.8倍。,箱形截面的腹板,圆管截面,直径与厚度之比的限值与轴心受压构件相同。,

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