（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步专题探究课四学案 文 新人教a版

1、专题探究课四高考导航1.立体几何初步是高考的重要内容，几乎每年都考查一个解答题，两个选择或填空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即利用定义、公理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直，并与几何体的性质相结合考查几何体的计算；2.重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力.考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法.热点一空间位置关系与几何体度量计算(教材VS高考)以空间几何体(主要是柱、锥或简单组合体)为载体，通过空间平行、垂直关系的论证命制，主要考查公理4及线、面平行与垂直的判定定理与性质定理，常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查，考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想，一般以解答题的形式出现，难度中等.【例1】 (满分12分)(2017全国卷)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90.(1)证明：直线BC平面PAD；(2)若PCD的面积为2，求四棱

2、锥PABCD的体积.教材探源1.考题源于教材必修2P74习题2.3B组T2，T4及P62习题T3，将教材三棱锥改成以四棱锥为载体，考查空间平行与垂直，在问题(1)和(2)的前提下设置求四棱锥的体积，在计算体积的过程中，考查面面垂直与线面垂直，可谓合二为一的精彩之作.2.考题将教材中多个问题整合，采取知识嫁接，添加数据，层层递进设置问题，匠心独运，考题源于教材高于教材.满分解答(1)证明在平面ABCD中，因为BADABC90.所以BCAD， 1分(得分点1)又BC平面PAD，AD平面PAD.所以直线BC平面PAD. 3分 (得分点2)(2)解如图，取AD的中点M，连接PM，CM，由ABBCAD及BCAD，ABC90得四边形ABCM为正方形，则CMAD.5分(得分点3)因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PM平面PAD，所以PMAD，PM底面ABCD，7分(得分点4)因为CM底面ABCD，所以PMCM.8分(得分点5)设BCx，则CMx，CDx，PMx，PCPD2x，如图，取CD的中点N，连接PN.则PNCD，所以PNx.因为PCD的面积为2，所以x

3、x2，解得x2(舍去)或x2.10分(得分点6)于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱锥PABCD的体积V24.12分(得分点7)得步骤分：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写.如第(1)问中的BCAD，第(2)问中CMAD，PMCM，PNx等.得关键分：解立体几何类解答题时，一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出BC平面PAD，AD平面PAD两个条件，否则不能得全分.在第(2)问中，证明PM平面ABCD时，一定写全三个条件，如平面PAD平面ABCDAD，PMAD一定要有，否则要扣分.再如第(2)问中，一定要分别求出BC，AD及PM，再计算几何体的体积.得计算分：涉及体积与面积的计算，正确求得数据结果是关键，如利用面积求线段BC的长度，否则无法得分，再者PM及AD的计算失误也会扣去2分，在第(2)问的推理中，巧用第(1)问结果，借助BCAD，证明CMAD优化解题过程. 第一步：根据平面几何性质，证BCAD.第二步：由线面平行判定定理，证线BC平面PAD.第三步：判定四边形ABCM为正方形，得CMAD.第四步：证

4、明直线PM平面ABCD.第五步：利用面积求边BC，并计算相关量.第六步：计算四棱锥PABCD的体积.【训练1】 (2015全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积.(1)证明因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBE，且BEBDB，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)解设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在Rt AEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，BG平面ABCD知BEBG，故EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACDACGDBEx3，故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.热点二平面图形折叠成空间几何体先将平面图形折叠成空间几何体，再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量是近几年高考

5、考查立体几何的一类重要考向，它很好地将平面图形拓展成空间图形，同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径，是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向.【例2】 (2016全国卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H，将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱锥DABCFE的体积.(1)证明由已知得ACBD，ADCD，又由AECF得，故ACEF，由此得EFHD，故EFHD，所以ACHD.(2)解由EFAC得.由AB5，AC6得DOBO4，所以OH1，DHDH3，于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面BHD，于是ACOD，又由ODOH，ACOHO，所以OD平面ABC.又由得EF.五边形ABCFE的面积S683.所以五棱锥DABCFE的体积V2.探究提高1.(1)利用AC与EF平行，转化为证明EF与HD垂直；(2)求五棱锥的体积需先求棱锥的高及底面的面积，结合图形特征可以发现OD是棱锥的高，而底面

6、的面积可以利用菱形ABCD与DEF面积的差求解，这样就将问题转化为证明OD与底面垂直以及求DEF的面积问题了.2.解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.【训练2】 如图，直角三角形ABC中，A60，沿斜边AC上的高BD将ABD折起到PBD的位置，点E在线段CD上.(1)求证：PEBD；(2)过点D作DMBC交BC于点M，点N为PB的中点，若PE平面DMN，求的值.(1)证明BDPD，BDCD，且PDCDD，PD，CD平面PCD，BD平面PCD.又PE平面PCD，BDPE.(2)解由题意，得BMBC.取BC的中点F，则PFMN.又PF平面DMN，MN平面DMN，PF平面DMN. 由条件PE平面DMN，PEPFP，平面PEF平面DMN，EFDM，.热点三线、面位置关系中的开放存在性问题【例3】 (2018北京海淀模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PAPD，PAAB，N是棱AD的中点.(1)求证：平面PAB平面PAD.(2)求证：PN平面ABCD.(3)在棱BC上是

7、否存在动点E，使得BN平面DEP？并说明理由.(1)证明在矩形ABCD中，ABAD，又因为ABPA且PAADA，所以AB平面PAD.又因为AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)证明在PAD中，PAPD，N是棱AD的中点，所以PNAD.由(1)知AB平面PAD，且PN平面PAD，所以ABPN.又因为ABADA，所以PN平面ABCD.(3)解在棱BC上存在点E，使得BN平面DEP，此时E为BC的中点.证明如下：取BC中点E，连接PE，DE.在矩形ABCD中，NDBE，NDBE，所以四边形BNDE是平行四边形，则BNDE.又因为BN平面DEP，DE平面DEP，所以BN平面DEP.探究提高1.在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本.2.例3第(3)问是探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论.【训练3】 (2018邯郸模拟)如图，直三棱柱

8、ABCA1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知ABAC，AA13，BCCF2.(1)求证：C1E平面ADF.(2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM平面ADF.(1)证明连接CE交AD于O，连接OF.因为CE，AD为ABC的中线，则O为ABC的重心，故，故OFC1E，因为OF平面ADF，C1E平面ADF，所以C1E平面ADF.(2)解当BM1时，平面CAM平面ADF.证明如下：因为ABAC，D是BC中点，故ADBC，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，BB1平面B1BCC1，故平面B1BCC1平面ABC.又平面B1BCC1平面ABCBC，AD平面ABC，所以AD平面B1BCC1，CM平面B1BCC1，故ADCM.又BM1，BC2，CD1，FC2，故CBMFCD.易证CMDF，DFADD，故CM平面ADF.又CM平面CAM，故平面CAM平面ADF.1.如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点.求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.证明(1)在PAD中，因为E，F分别是AP，AD的中点，所以EFPD.因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF平面PCD.(2)如图所示，连接BD，因为ABAD，BAD60，所以ABD为正三角形.因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BF平面ABCD，所以BF平面PAD.又BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.2.(2017全国卷)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.(1)证明：ACBD；(2)已知ACD是直角三角形，ABBD.若E为棱BD上与

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