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2018年高中数学第一章立体几何初步 1.4.2 空间图形的公理课件3 北师大版必修2

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常见问题

1、4.2 空间图形的公理,空间图形多种多样，但它们的基本关系很容易观察到，一个小小的长方体，就包含了所有的基本关系.,上节课我们学习了哪些基本关系？,初中的时候，我们学习了一些基本事实（公理）：,两点确定一条直线两点之间线段最短过直线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行思考：两点确定一条直线，那么怎样确定一个平面呢？,文字语言,图形语言,符号语言,公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面.,A,B,C,作用：一确定平面;二用来证明点、线共面,推论： 1、一条直线和直线外一点确定一个平面 2、两条相交直线确定一个平面 3、两条平行直线确定一个平面,作用：用来判断直线是否在平面内,公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.,文字语言,图形语言,符号语言?,思考：直线与平面的位置关系有几种？分别是什么？,线在面内线面相交线面不相交-线面平行同学们能否用图形语言表示以上三种线面关系？,文字语言,图形语言,符号语言？,公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.,P,作用:一是判定两个平面是否相交

2、;二是判断点在直线上.,思考1:设直线a/b，将直线a在空间中作平行移动，在平移过程中a与b仍保持平行吗（前提是二者不重合）？,探究点1 平行公理,提示：平行.,思考2:如图, 在长方体ABCD-ABCD中,BB AA，DDAA，那么BB与DD平行吗 ?,提示：平行.,思考3：取一块长方形纸板ABCD，E，F分别为AB，CD 的中点，将纸板沿EF折起，在空间中直线AD与BC的位置关系如何 ?,提示：平行.,若ab，bc,公理4 平行于同一条直线的两条直线平行.,则ac.,问题：观察下列图形，直线与直线的位置关系有哪些？,探究点2 异面直线,（2）如图中直线a和b在同一个平面内，但没有公共点，这样的两条直线叫作平行直线，记作：ab；,空间两条直线的位置关系有三种:,（1）如图中直线a和b只有一个公共点A，这样的两条直线叫作相交直线，记作：ab=A；,(3)如图中直线AD与直线BB1；直线AD与直线BD1，它们不同在任何一个平面内，这样的两条直线叫作异面直线.为了表示异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图:,【提升总结】对于异面直线的几点认识 (1)若直线a,

3、b 是异面直线,则在空间中找不到一个平面,使其同时经过a,b 两条直线. (2)不能误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线. (3)画异面直线时,为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点,常常需要以辅助平面作为衬托,以加强直观性.,例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB与C1D1 ，AD1与 BC1 ，AA1与CC1，AC与A1C1是什么位置关系？,解: ABC1D1，AD1BC1 ， AA1 CC1，ACA1C1.,例2 在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC, CD,DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.,证明:如图，连接BD. 因为FG是CBD的中位线，所以,又因为EH是ABD的中位线，所以,所以四边形EFGH是平行四边形.,思考1:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？,探究点3 “等角”定理,提示：相等或互补.,思考2: 如图,四棱柱ABCD-ABCD的底面是平行四边形，ADC与ADC, ADC与BAD 的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?,提示：相等.,提示：互补.,思考3

4、:综上分析我们可以得到什么定理?,提示：空间中,如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.,探究点4 两条异面直线所成的角,如图所示，a，b是两条异面直线，,在空间中任选一点O，,过O点分别作a，b的平行线 a和 b，,a,b,则这两条线所成,的锐角（或直角），,称为异面直线a，b所成的角.,若两条异面直线所成角为90，则称它们互相垂直.,异面直线a与b垂直记作:ab.,异面直线所成角的取值范围： .,例3 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD在原正方体中的位置关系是（）.,A.平行 B.相交且垂直 C.异面直线 D.相交成60,D,解：选D.将上面的展开图还原成正方体，点B与点D重合.容易知道AB=BC=CA，从而ABC是等边三角形.所以选D.,例4 在正方体ABCD-A1B1C1D1中指出下列各对线段所成的角：,（1）AB与CC1.,（2）A1 B1与AC.,（3）A1B与D1B1.,B1,C,C1,A,B,D,A1,D1,解：（1）AB与CC1所成的角,等于90.,（2）A1 B1与AC所成的角,等于45.,（3）A1B与D1B1所成的角,等于60.,【提

5、升总结】求异面直线所成角的步骤:,异面直线所成角,相交线所成的角,解三角形求角(取锐角或直角),平移,构造三角形,即：“作证算答”,注意：对于有数据的题目，要注意勾股定理，三角函数，边边关系，对于有关中点的题目要留意三角形中位线.,1.判断对错：（1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.( ) （2）空间两条不相交的直线一定是异面直线. ( ) （3）垂直于同一条直线的两条直线必平行. ( ) （4）若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直. ( ),2.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( ) A异面 B平行 C相交 D以上都有可能,【解析】选D.如图，ab，c与d相交，a与d异面,D,3直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为( ) A1 B3 C6 D0,【解析】选B.以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但不共面，显然经过其中的两条直线的平面有3个,B,1. 空间直线的平行关系及相关定理.,2. 异面直线的定义及两条异面直线所成的角.,3. 求异面直线所成的角的一般方法. “作证算答”,不能因为我们感觉不到温暖就否定太阳的存在；不能因为我们感觉不到真诚就否定人间真诚的存在.,

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