2018版高中数学 第一章 计数原理 1.1 第2课时 分类计数原理与分步计数原理的应用学案 苏教版选修2-3
9页1、第2课时分类计数原理与分步计数原理的应用学习目标巩固分类计数原理和分步计数原理,并能灵活应用这两个计数原理解决实际问题知识点一两个计数原理的区别与联系分类计数原理分步计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种类不同点分类完成,类类相加分步完成,步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立,不重不漏步步相依,步骤完整知识点二两个计数原理的综合应用解决较为复杂的计数问题,一般要将两个计数原理综合应用使用时要做到目的明确,层次分明,先后有序,还需特别注意以下两点:(1)合理分类,准确分步:处理计数问题,应扣紧两个原理,根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”,要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准分类时需要满足两个条件:类与类之间要互斥(保证不重复);总数要完备(保证不遗漏),也就是要确定一个合理的分类标准分步时应按事件发生的连贯过程进行分析,必须做到步与步之间互相独立,互不干扰,并确保连续性(2)特殊优先,一般在后:解含有特殊元素、特殊位置的计数问题,一般应优先安排特殊元素,优先确定特殊位置,再考虑其他元素
2、与其他位置,体现出解题过程中的主次思想类型一排数问题例1用0,1,2,3,4五个数字,(1)可以排成多少个三位数字的电话号码?(2)可以排成多少个三位数?引申探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数?(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数?反思与感悟对于组数问题,应掌握以下原则:(1)明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键一般按特殊位置(末位或首位)分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位跟踪训练1用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有_个(用数字作答)类型二抽取(分配)问题例2如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为_反思与感悟解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法(2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:直接使用分类计数原理或分步计数原理一般地
3、,若抽取是有顺序的就按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行;间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可跟踪训练2有四位同学参加三项不同的竞赛(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛,有多少种不同结果?(2)每项竞赛只许一位学生参加,有多少种不同的结果?类型三涂色与种植问题引申探究若本例中的区域改为如图所示,其他条件均不变,则不同的涂法共有多少种?例3将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?1234反思与感悟涂色问题的四个解答策略涂色问题是考查计数方法的一种常见问题,由于这类问题常常涉及分类与分步,所以在高考题中经常出现,处理这类问题的关键是要找准分类标准,求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解,常用的方法有:(1)按区域的不同以区域为主分步计数,并用分步计数原理计算(2)以颜色为主分类讨论法,适用于“区域、点、线段”问题,用分类计数原理计算(3)将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题(4)对于不相邻的区域,常分为同色和不
4、同色两类,这是常用的分类标准跟踪训练3如图所示,将四棱锥SABCD的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数例4将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物,则不同的种植方法共有_种反思与感悟按元素性质分类,按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法,区分“分类”与“分步”的关键,是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情,分类中的每一种方法都能完成这件事情,而分步中的每一种方法不能完成这件事情,只是向事情的完成迈进了一步跟踪训练4从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,求有多少种不同的种植方法1用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数,其中奇数有_个2在2,3,5,7,11这五个数字中,任取两个数字组成分数,其中假分数的个数为_3有5名同学被安排在周一至周五值日,每人值日一天已知同学甲只能在周三值日,那么这5名同学值日顺序的安排方案共有_种4如图所示,在A,B间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通今发现A,B之间线
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