2018版高中数学 第二章 概率 习题课 离散型随机变量的均值学案 苏教版选修2-3

1、习题课 离散型随机变量的均值学习目标1.进一步熟练掌握均值公式及性质.2.能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题1对均值的再认识(1)含义：均值是离散型随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平(2)来源：均值不是通过一次或多次试验就可以得到的，而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值(3)单位：随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位(4)与平均数的区别：均值是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数2均值的性质X是随机变量，若随机变量aXb(a，bR)，则E()E(aXb)aE(X)b.类型一放回与不放回问题的均值例1在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：(1)不放回抽样时，抽取次品数的均值；(2)放回抽样时，抽取次品数的均值反思与感悟不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算跟踪训练1甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.(1)若m10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在

2、一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P2的值；(3)设P2，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次设表示摸出红球的总次数，求的概率分布和均值类型二与排列、组合有关的分布列的均值例2如图所示，从A1(1,0,0)，A2(2，0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1 (0，0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V0)(1)求V0的概率；(2)求均值E(V)反思与感悟解此类题的关键是搞清离散型随机变量X取每个值时所对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X取每个值时的概率，利用均值的公式便可得到跟踪训练2某地举办知识竞赛，组委会为每位选手都备有10道不同的题目，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完一道题后，再抽取下一道题进行回答(1)求某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；(2)求

3、某选手抽到体育类题目的次数X的均值类型三与互斥、独立事件有关的分布列的均值例3某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰)，若该学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，假设每一次考核是否合格互不影响假设该生不放弃每一次考核的机会用表示其参加补考的次数，求随机变量的均值反思与感悟若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率跟踪训练3甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，没有和棋，采用五局三胜制，规定某人先胜三局则比赛结束，求比赛局数X的均值类型四均值的实际应用例4受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x/年0x11202轿车数量/辆2345545每辆利润/万元1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发

4、生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的概率分布；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，因此只能生产其中一种品牌的轿车若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？请说明理由反思与感悟解答概率模型的三个步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2)确定随机变量的概率分布，计算随机变量的均值(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论跟踪训练4某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的概率分布和均值1某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是_2今有两立工作在

5、两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)_.3已知随机变量的概率分布为101Pm若a3，E()，则a_.4两封信随机投入A、B、C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数的均值E()_.5.现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票；若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X，求X的概率分布及均值1实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用，如体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计2概率模型的解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2)确定随机变量的概率分布，计算随机变量的均值(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论答案精析题型探究例1解(1)方法一P(0)，P(1)，P(2).随机变量的概率分布如下

6、表：012PE()012.方法二由题意知，P(k)(k0,1,2)，随机变量服从超几何分布，n3，M2，N10，E().(2)由题意知1次取到次品的概率为，随机变量服从二项分布B，E()3.跟踪训练1解(1)设甲袋中红球的个数为x，依题意得x104.(2)由已知，得，解得P2.(3)的所有可能值为0,1,2,3.P(0)，P(1)C，P(2)C2，P(3)2.所以的概率分布为0123P所以E()0123.例2解(1)从6个点中随机选取3个点总共有C20种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有CC12种，因此V0的概率为P(V0).(2)V的所有可能取值为0，则P(V0)，P(V)，P(V)，P(V)，P(V).因此V的概率分布如下表：V0PE(V)0.跟踪训练2解从10道不同的题目中不放回地随机抽取3次，每次只抽取1道题，抽取方法的总数为CCC.(1)某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的方法数为CCC，所以这位选手在3次抽取的题目中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率为.(2)由题意可知X的取值可能为0,1,2.则P(X0)，P(X1)，P(X2).故X的概率分布

7、如下表：X012PE(X)012.例3解的可能取值为0,1,2.设该学生第一次，第二次身体体能考核合格为事件A1，A2，第一次，第二次外语考核合格为事件B1，B2，则P(0)P(A1B1)，P(2)P(1A21 B2)P(1A21 2).根据分布列的性质可知，P(1)1P(0)P(2).所以其概率分布如下表：012PE()012.跟踪训练3解由题意，X的所有可能值是3,4,5.则P(X3)C()3C()3，P(X4)C()2C()2，P(X5)C()2()2C()2()2.所以X的概率分布如下表：X345P所以E(X)345.例4解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A).(2)依题意得X1的概率分布如下表：X1123PX2的概率分布如下表：X21.82.9P(3)由(2)得E(X1)1232.86(万元)，E(X2)1.82.92.79(万元)因为E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车跟踪训练4解(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A).(2)依题意，得X所有可能的取值是1,2,3，又P(X1)，P(X2)，P(X3)1.所以X的概率分布为X123P所以E(X)123.当堂训练1np2.1.753.24.5解(1)由题意可知投一次小球，落入B槽的概率为()2()2.(2)落入A槽的概率为()2，落入B槽的概率为，落入C槽的概率为()2.X的所有可能取值为0,5,10，P(X0)()3，P(X5)()2.P(X10)()2.所以X的概率分布为X0510PE(X)0510.- 13 -

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