空间点、直线、平面之间位置关系

1、,2.1,空间点、直线、平面之间的位置关系,主要内容,2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系,2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系,2.1.1 平面,2.1.4空间中平面与平面之间的位置关系,2.1.1,平 面,构成图形的基本元素,点、线、面,点无大小,线无粗细,面无厚薄,点,直线,平面,可无限延伸的,平面是可无限延展的,平面的表示,平面的画法,一般来说，常用正方形或长方形表示平面，如图一, 在画立体图时，为了增强立体感， 常常把平面画成平行四边形，如图二是按照斜二测画法得到的平面的水平直观图.,图一,图二,平面的符号表示,1. 希腊字母： 平面， 平面，平面,2. 一个或几个拉丁字母： 平面M， 平面AC， 平面ABCD等,A,B,C,D,平面的表示,平面的表示,两个相交平面的画法和表示,平面和平面相交于一条直线a,被遮住的部分画虚线,平面平面=直线a,平面的表示,直线和平面都可以看成点的集合,“点P在直线l上”,“点A在平面内”,用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线与平面的关系,“点P在直线l 外”,“点A在平面外”,直线 l 在平面内，或者说平面经过直线 l,直线 l

2、在平面外.,平面的基本性质,公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.,思考1：如何让一条直线在一个平面内？,作用：为判断直线与平面的位置关系提供依据,集合符号表示,平面经过这条直线,平面的基本性质,公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.,思考2：经过两点可以确定一条直线，那么经过几个点可以确定一个平面呢？,作用：判断几个点共面或直线在同一个平面内,集合符号表示,“不共线的三点确定一个平面”,已知A、B、C三点不共线，则存在惟一平面，使得A、B、C,平面的基本性质,思考3：如果两个平面有一个公共点，那么还会有其它公共点吗？如果有这些公共点有什么特征？,公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.,作用：判断两个平面位置关系的基本依据,例题,例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.,解：1） A，B，=l，a=A，a=B,2) a,b,=l,al=P, bl=P, ab=P,例2：已知直线a，和点P，Pa，求证经过点P和直线a有且只有一个平面.,探究问题,根据公理1探究直线与平面的各种位置关系.

3、 根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一个平面的合理性. 根据公理3探究平面与平面的各种位置关系.,小结,1.平面的表示：概念、图形、符号等 2.平面的基本性质 公理1 公理2 公理3 3.判断共面的方法,作业,P43 练习1,2,34 P51 习题A组 1，2,2.1.2,空间中直线与直线之间的位置关系,两条直线的位置关系,思考1：同一平面内两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？,C,1）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系如何？,2）天安门广场上，旗杆所在直线与长安街所在直线的位置关系如何？,两条直线的位置关系,如图, 长方体ABCD-ABCD中，线段AB所在直线分别与线段CD所在直线，线段BC所在直线，线段CD所在直线的位置关系如何?,观察,两条直线的位置关系,定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.,异面直线的图示,两条直线的位置关系,A. 空间中既不平行又不相交的两条直线； B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线； C. 分别在不同平面内的两条直线； D. 不在同一个平面内的两条直线； E. 不同在任何一个平面内的两条直线.,关于异面

4、直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？,问题,两条直线的位置关系,空间中的直线与直线之间有三种位置关系：,不同在任何一个平面内，没有公共点,同一平面内，有且只有一个公共点；,同一平面内，没有公共点；,如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对?,探究,直线EF 和直线HG,直线AB 和直线CD,直线AB 和直线HG,答：3对,平行直线,如图, 在长方体ABCDABCD中, BBAA，DDAA，那么BB与DD平行吗 ?,观察,答：平行,平行直线,公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.,空间中的平行线具有传递性,如果a/b，b/c，那么a/c,三条平行线共面,三条平行线不共面,平行直线,已知三条直线两两平行，任取两条直线能确定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？,三条平行线共面,三条平行线不共面,问题,平行直线,例2 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.,在上例中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH 是什么图形？,探究,答：

5、四边形EFGH是菱形,观察下图中的AOB与AOB.,等角定理,问题1：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系 问题2：测量一下，这两个角的大小关系如何？,在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等或互补”空间中，结论是否仍然成立？,思考1,如图,四棱柱ABCD-ABCD的底面是平行四边形，ADC与ADC, ADC与BAD的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?,思考2:,ADC=ADC,ADC+BAD=1800,如图，在空间中AB/ AB，AC/ AC，你能证明BAC与BAC 相等吗？,思考3,等角定理,定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.,等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角相等.,异面直线所成的角,思考,在同一平面内两条相交直线形成四个角，常取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系，这个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条异面直线的位置关系呢？,a,平面内两条相交直线,空间中两条异面直线,异面直线所成的角,已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线 ，把 与

6、所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角,异面直线所成的角,我们规定两条平行直线的夹角为0，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？,如果两条异面直线所成角为900，那么这两条直线垂直.,探究,记直线a垂直于b为：ab,异面直线所成的角,探究,（1）在长方体 中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？,（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？,（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？,垂直,异面直线所成的角,例3 已知正方体 ,（1）哪些棱所在直线与直线 是异面直线？,（2）直线 和 的夹角是多少？,（3）哪些棱所在的直线与直线 垂直？,在如图所示的长方体中，AB= ，且 AA1=1，求直线BA1和CD所成角的度数.,30O,练习1,如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，BC上的点,且 ，已知AB=CD=2， , 求异面直线AB和CD所成的角.,F,练习2,n直线相交最多有几个交点？,练习3,本节小结,（1）空间直线的三种位置关系,（2）平行线的传递性,（3）等角定理,（4）异面直线所成的角,基本知识,基本方法 把空

7、间中问题通过平移转化为平面问题.,作业,P48 练习1，2 P51 -52习题2.1 A组 3，4(1)(2)(3)(6)，5，6， B组1,2.1.3,空间中直线与平面之间的位置关系,主要内容,直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行,直线与平面,思考？,1）一支铅笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种关系？,2）如图，线段AB所在直线与长方体ABCD-ABCD的六个面所在平面有几种位置关系？,直线与平面,直线和平面的位置关系有且只有三种,(1)直线在平面内,有无数个公共点,a,记为：a,直线与平面,(2)直线与平面相交,有且只有一个公共点,a,记为：a=A,A,直线与平面,（3）直线与平面平行,没有公共点,a,记为：a/,直线与平面,直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,记为：a,a,a/,a,a=A,A,或,直线与平面,例1. 下列命题中正确的个数是 ( ) 1）若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l/ 2) 若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都平行 3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平

8、面平行 4）若直线 l与平面平行，则 l与平面内的任意一条直线都没有公共点.,(A） 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3,B,主要内容,直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行,作业,P49 练习 P51-53 习题2.1A组 4(4)(5) B 2，3,平面与平面之间的位置关系,2.1.4,平面与平面之间的位置关系,思考,（1）拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？,（2）如图，围成长方体ABCD-ABCD的六个面，两两之间的位置关系有几种？,两个平面的位置关系,两个平面的位置关系有且只有两种 两个平面平行没有公共点 两个平面相交有一条公共直线,分类的依据是什么？,公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.,两个平面平行或相交的画法及表示,/,m,=m,已知平面 ，直线a、b，且/，a，b，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？,探究1,a,b,答：平行或异面,探究2,相交于一条交线,三条交线,三条交线,如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.,一个平面可以把空间分成几个部分？ 两个平面可以把空间分成几个部分？ 三个平面可以把空间分成几个部分？,探究3,小结,平面与平面的位置关系 平面与平面相交 平面与平面平行,作业,P50 练习 P52 习题2.1 A组7，8,

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