张家山《算数书》“乘”简试析

1、从本学科出发，应着重选对国民经济具有一定实用价值和理论意义的课题。课题具有先进性，便于研究生提出新见解，特别是博士生必须有创新性的成果张家山算数书“乘”简试析摘要：“乘”简是算数书整理中分歧比较大的一组简文，尽管学者们作了不同的调整，但其中仍缺乏一种有足够说服力的整理结果。我们认为，要对这组简文做出最恰当的整理，应该从简本算数书流传的角度，把其祖本中这段简文可能存在的分栏书写的情形考虑在内，具体的 分析 与整理见下文。 张家山算数书是近年来公布的 中国 早期的一部重要数学著作，在中国数学史上具有极为重要的地位。自其面世以来，对它进行 研究 的学者很多，如彭浩、郭书春、郭世荣、洪万生、苏意雯等，他们的研究解决了许多相关的重要 问题 ，取得了很大的成绩。1但是，在整部著作的整理中，有个别的地方仍未得到圆满的解释，尚可做进一步的讨论，如“乘”简即属此类。这里，我们在各家讨论的基础之上，试就该组简文作进一步分析，以求对简本算数书原始面貌的考察有所裨益。 一、诸家整理之分析 “乘”简由8、9、10、11、12等五支简组成，释文如下：2 少半乘少半，九分一也；半步乘半步，四分一；半步乘少半步，六分

2、一也；少半乘大半，九分二也；五分乘五分，廿8五分一；四分乘四分，十六分一；四乘五分，廿分一；五分乘六分，卅分一也；七分乘七分，卌九分一也；六分乘六分，卅六分一也；六9分乘七，卌二分一也；七分乘八分，五十六分一也。10一乘十，十也；十乘万，十万也；千乘万，千万。一乘十万，十万也；十乘十万，百万。半乘千，五百。一乘百11万，百万；十乘百万，千万。半乘万，五千；十乘千，万也；百乘万，百万；半乘百，五十。1 本组简所记主要 内容 可以分为两个部分，前一部分是分数相乘，为第8、9、10号简，后一部分主要是整数相乘，为第11、12号简。观察发现，这两部分都不是一般情形的乘法，前者乘数与被乘数所涉及的分数包括半、少半、四分、五分、六分、七分、八分，这些分数可以说很可能是人们最早认识的基本分数。整数部分的情况也相似，涉及一、十、百、千、万、十万、百万、千万，这些数字都应是当时人所掌握的用于记数的基本数字单位。简文的记载比较混乱，彭浩、郭世荣、郭书春、洪万生、苏意雯等先生均意识到了这一问题，并对部分简文试作了调整，但因为没有理清简文抄写出错的原因，所以无法得到完满的结论。各家整理后的释文分别作：、郭世荣

3、先生：3半乘半，四分一也；4半乘少半，六分一也；少半乘少半，九分一也；少半乘大半，九分二也；四分乘四分也，十六分一；四分乘五分，廿分一也；五分乘五分，廿五分一；五分乘六分，卅分一也；六分乘六分，卅六分一也；六分乘七，卌二分一也；七分乘七分，卌九分一也；七分乘八分，五十六分一也。一乘十，十也；一乘十万，十万也；一乘百万，百万也。十乘千，万也；十乘万，十万也；十乘十万，百万也；十乘百万，千万也；百乘万，百万也；千乘万，千万也。半乘百，五十也；半乘千，五百也；半乘万，五千也。、郭书春先生：5一乘十，十也；十乘万，十万也；千乘万，千万。一乘十万，十万也；十乘十万，百万；半乘千，五百；一乘百万，百万。十乘百万，千万；半乘万，五千。十乘千，万也；百乘万，百万；半乘百，五十；少半乘少半，九分一也；半步乘半步，四分一也；半步乘少半步，六分一也；少半乘大半，九分二也；四分乘四分，十六分一也；四分乘五分，廿分一也；五分乘五分，廿五分一也；五分乘六分，卅分一也；六分乘六分，卅六分一也；六分乘七分，卌二分一也；七分乘七分，卌九分一也；七分乘八分，五十六分一也。其中，简11、12郭书春先生以为应校正作：一乘十，

4、十也；一乘十万，十万也；一乘百万，百万。十乘千，万也；十乘万，十万也；十乘十万，百万；十乘百万，千万；百乘万，百万；千乘万，千万。半乘百，五十；半乘千，五百；半乘万，五千。、彭浩先生主要对简11、12作校正：6一乘十，十也；11十乘千，万也；12十乘万，十万也；11百乘万，百万；12千乘万，千万。一乘十万，十万也；十乘十万，百万。一乘百万11，百万；十乘百万，千万。半乘百，五十；半乘千，五百。半乘万，五千。1、苏意雯、洪万生等仅就细微处作了校注，未对简文的顺序作调整，盖其认为“此题就算不重排，亦不 影响 对题意的了解”。7综观上述诸种校正，可知诸位先生的处理有以下不同：1、“乘”简，除苏意雯、洪万生等认为可以无须调整简文顺序照录外，其他先生认为应该作相应的调整。2、在简8、9、10与简11、12这两部分简文的顺序上，郭书春先生认为应该将简文11、12置于8、9、10之前，以为“盖先民认识数时，当先认识整数，后才认识分数。”8而郭世荣、彭浩则仍保持简8、9、10在简11、12之前的顺序。3、对简8、9、10与简11、12两个部分而言，简8、9、10彭浩未作简文顺序调整，而二郭作了调整，结

5、果却不同；简11、12，彭浩及二位郭先生均作了调整，二郭所作的调整相同，但与彭浩的调整不同。所以，总的来说，对于“乘”简，诸位先生所作的校正没有完全相同的。对于上述区别，我们认为：“乘”简所存在的问题应该如彭、二郭一样给予整理，而非如苏意雯、洪万生等原样照录，以解决简文顺序混乱的问题；简8、9、10与简11、12的位置无须如郭书春先生所说给予调整，因为竹简出土时这五支简的相对位置保存的十分完好，是前后一一相连的，此种现象当非偶然，说明它们在书中的顺序确实如此，故整理时应尽可能尊重原貌；各位先生的调整有得有失，但未给出一个完全正确、通畅可读的简文顺序。 二、从简文分栏书写的角度对“乘”简的重新分析如前述所说，各位先生的调整各有得失，例如彭浩先生调整以后，“十乘千，万也；十乘万，十万也；百乘万，百万；千乘万，千万”及“半乘百，五十；半乘千，五百。半乘万，五千”部分要比未整理时更为合理些，然而其他部分简文却仍然比较零乱，显然未能达到整理的最终目的。其他的校正也存在类似的情况。那么，这组简文究竟应作如何调整呢？对于简11、12，我们不妨先可以看一看下面分栏写的简文，这部分简文作四支简、分三栏书

6、写，而所记的内容则与简11、12完全相同，具体情形如下：第一栏 第二栏 第三栏 一乘十，十也 十乘万，十万也 千乘万，千万 第一支简 一乘十万，十万也十乘十万，百万也半乘千，五百9 第二支简 一乘百万，百万 十乘百万，千万 半乘万，五千 第三支简 十乘千，万也 百乘万，百万 半乘百，五十 第四支简 上述四支简文，依据分栏格式的正确读法，显然应该首先读第一支简的第一栏“一乘十，十也；”次读第二简的第一栏“一乘十万，十万也；”再读第三简的第一栏“一乘百万，百万；”接着读第四支简的第一栏“十乘千，万也；”然后读第一支简的第二栏“十乘万，十万也；”依次类推，读至第四简的第三栏“半乘百，五十”。那么，这四支简的简文读作：一乘十，十也；一乘十万，十万也；一乘百万，百万；十乘千，万也；十乘万，十万也；十乘十万，百万也；十乘十万，百万也；十乘百万，千万；百乘万，百万；千乘万，千万；半乘千，五百；半乘万，五千；半乘百，五十。但是，当没有采取这种与分栏书写格式相应的读法，而错误地采用一支简读完再读另一支简的方式读时，即自第一支简的第一栏开始，续读第二栏，再读第三栏，接着读第二简的第一栏，依次类推，以至第四

7、简的第三栏，则这四支简的简文应该读作：一乘十，十也；十乘万，十万也；千乘万，千万；一乘十万，十万也；十乘十万，百万；半乘千，五百；一乘百万，百万；十乘百万，千万；半乘万，五千；十乘千，万也；百乘万，百万；半乘百，五十。这正好与简11、12所记一致，由此，我们可以得出这样的判断：即算数书作为一个抄本，其辗转传抄并非仅仅一次，而应经过两次以上，大概最初所照抄的算数书的本子中这一部分简文系分栏书写，其格式如上述所示，分三栏，共四支竹简。并且，由于抄写时大意，抄写者在抄写此段简文时不慎将第二、第三支简第三栏的相邻文字抄反了。后来再次传抄时，由于抄写者没有弄清这段简文是分栏书写的，而抄写格式由分栏变为不分栏，故对简文自右而左的读取方向未作相应的考虑，而是从第一支简的第一至第三栏纵向抄起，次及第二、三、四简，以致使原本十分通畅的简文读起来十分混乱。10所以，简文11、12在算数书祖本中书写格式的原貌应该如上面四支简所示，进而，张家山算数书中这段简文调整后的释文顺序应该如前述采取第一种读法时所示。同样的情形在简8、9、10中也存在，但这一部分简文在抄写时没有犯上述错误，当我们将它恢复为分栏的状况时，

8、简文的 规律 性更为明显：第一栏 第二栏 第三栏少半乘少半，九分一也五分乘五分，廿五分一七分乘七分，卌九分一也第一简半步乘半步，四分一 四分乘四分，十六分一六分乘六分，卅六分一也第二简半步乘少半步，六分一也四乘五分，廿分一 六分乘七，卌二分一也 第三简少半乘大半，九分二也五分乘六分，卅分一也七分乘八分，五十六分一也第四简上述三栏，每一栏的四个式子可相对的表示为：1n1n、1(n1)1(n1)、1(n1)1n、1n1(n1)。11可知，简文8、9、10在算数书祖本中也应是如上所示分三栏、四支简书写，抄写者在抄写时因为未如原书那样分栏，对此作了相应的调整，形成了我们所见到的竹简行文情况，所用竹简也由四支变为三支。简言之，“乘”简在祖本算数书中的书写格式应作如下：少半乘少半，九分一也五分乘五分，廿五分一七分乘七分，卌九分一也第一简半步乘半步，四分一 四分乘四分，十六分一六分乘六分，卅六分一也第二简半步乘少半步，六分一也四乘五分，廿分一 六分乘七，卌二分一也 第三简少半乘大半，九分二也五分乘六分，卅分一也七分乘八分，五十六分一也第四简一乘十，十也 十乘万，十万也 千乘万，千万 第五简一乘十万，十万也 十乘十万，百万也半乘千，五百12 第六简 一乘百万，百万 十乘百万，千万 半乘万，五千 第七简十乘千，万也 百乘万，百万 半乘百，五十 第八简通过上面的分析，我们可以将“乘”简简文的顺序调整如下：少半乘少半，九分一也；半步乘半步，四分一也；半步乘少半步，六分一也；少半乘大半，九分二也；四分乘四分，十六分一也；四分乘五分，廿分一也；五分乘五分，廿五分一也；五分乘六分，卅分一也；六分乘六分，卅六分一也；六分乘七分，卌二分一也；七分乘七分，卌九分一也；七分乘八分，五十六分一也。一乘十，十也；一乘十万，十万也；一乘百万，百万。十乘千，万也；十乘万，十万也；十乘十

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