第13章-三角形中的边角关系、命题与证明(总复习)

1、第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 （总复习）,制作人：金勇,1三角形的概念,三角形有三条边，三个内角，三个顶点. 组成三角形的线段叫做三角形的边; 相邻两边所组成的角叫做三角形内角，简称角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC用符号表示为ABC， 三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.,不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形,1三角形的概念,不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形,注意： 1:三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接； 2:三角形是一个封闭的图形； 3:ABC是三角形ABC的符号标记，单独的没有意义,2三角形的三边关系,注意： 1：三边关系的依据是：两点之间线段是短 2:判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形. 3:三角形第三边的取值范围是: 两边之差第三边两边之和,三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形的任意两边之差小于第三边.,3三角形的高、中线、角平分线、,注意： 三角形的

2、高是线段； 锐角三角形三条高全在三角形的内部； 直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部； 钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部。 三角形三条高所在直线交于一点,(1 )三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在 的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段,表示法： AD是ABC的BC上的高线. ADBC于D. ADB=ADC=90.,注意： 三角形的中线是线段； 三角形三条中线全在三角形的内部； 三角形三条中线交于三角形内部一点； 中线把三角形分成两个面积相等的三角形,(2)三角形中线：连结一个顶点和它对边中点的线段,表示法： AD是ABC的BC上的中线. BD=DC=BC.,3三角形的高、中线、角平分线、,注意： 三角形的角平分线是线段； 三角形三条角平分线全在三角形的内部； 三角形三条角平分线交于三角形内部一点； 用量角器画三角形的角平分线,(3)三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段。,表示法： AD是ABC的BAC的平分线. 1=2=BAC.,1,2,3三角形的高、中线、角平分线、,4三角形的分类：,1：按边分类,2：按角分类,5

3、对“定义”的理解：,能明确界定某个对象含义的语句叫做定义。,注意：明确界定某个对象有两种形式： 揭示对象的特征性质； 例如：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高 明确对象的范围。 例如：整数和分数统称为有理数,6有关“命题”的概念,注意： 命题有真命题和假命题两种，,对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫做命题。, 命题由题设和结论两部分组成的. 前一部分，也称之为条件，后一部分称之为结论。, 命题通常是用“如果, 那么.”的形式给出., “如果p, 那么q.”中的题设与结论互换，得一个新命题： “如果q, 那么p.” 这两个命题称为互逆命题.其中一个命题叫原命题，另一个命题叫做逆命题., 当一个命题是真命题时它的逆命题不一定是真命题., 符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子，称之为反例. 要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可.,7有关“公理、定理、证明、推论、演绎推理、辅助线”等概念,（2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并被选作判断命题真假的依据的真命题,（1）公理：从长期实践中总结出来的，不需要再作证明的

4、真命题。,（4）演绎推理：从已知条件出发，依据定义、公理、定理，并按照逻辑规则，推导出结论的方法。,（5）证明：演绎推理的过程就是演绎证明，简称“证明”。,（3）推论：由公理、定理直接得出的真命题。,（6）辅助线：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线段或直线。,8三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180,(2) 从剪拼可以看出：A+B+C=180,（1）从折叠可以看出：A+B+C=180,(3) 由推理证明可知：A+B+C=180,证明三角形内角和定理的方法,添加辅助线思路：1、构造平角,2,1,E,D,1,2,E,D,F,1,2,添加辅助线思路:2、构造同旁内角,（,E,D,F,（,（,1,2,3,4,（,9三角形的外角,三角形的外角的定义: 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.,三角形的外角与内角的关系：,2:三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和；,1:三角形的一个外角与它相邻的内角互补；,3:三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。,4:三角形的外角和为360。,考点一：数三角形的个数,例1 图中三角形的个数是（ ） A8 B9 C10 D11

5、,B,考点二：三角形三边关系,例2 ：已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是( ) A1，2，3 B2，5，8 C3，4，5 D4，5，10,例3：下列各组条件中，不能组成三角形的是( ) A. a+1、a+2、a+3 (a3) B. 3cm、8cm、10 cm C. 三条线段之比为1:2:3 D. 3a、5a、2a+1 (a1),C,C,考点二：三角形三边关系,例3ABC的三边长分别为4、9、x, 求x的取值范围； 求ABC周长的取值范围； 当x为偶数时，求x； 当ABC的周长为偶数时，求x； 若ABC为等腰三角形，求x,考点三：三角形的三线,例4：下列说法错误的是（ ） A:三角形的三条中线都在三角形内。 B:直角三角形的高线只有一条。 C:三角形的三条角平分线都在三角形内。 D:钝角三角形内只有一条高线。,例5：在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中 线，高和这边所对角的角平分线，最短的是（ ） A:中线。 B:高线。 C:角平分线。 D:不能确定。,B,B,考点四：三角形内角和定理：,解：设B=x ，则A=3x，C=4x ， 从而:x+3x+4x=180

6、，解得x=22.5 即：B=22.5，A=67.5，C=90,例3 ABC中，B= A= C，求 ABC的三个内角度数.,例4 如图，点O是ABC内一点，A=80，1=15，2=40，则BOC等于（ ） A. 95 B. 120 C. 135 D. 650,分析与解： O=180-（OBC+OCB） =180-（180-（1+2+A）=1+2+A=135,考点四：三角形内角和定理：,1.在ABC中，三边长a,b,c都是整数，且满足abc,a=8,那么满足条件的三角形共有多少个？,变式：1.已知小明家距离学校10千米,而小蓉家距离小明家3千米.如果小蓉家到学校的距离是d千米,则d满足 ？,2.如图，在ABC中，BAC=4ABC=4C，BDAC于点D，求ABD的度数。,答案ABD=30,变式2.用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3米和7米，问这个等腰三角形的周长是多少？,3.如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说明理由.,4.如图，ACBD，AE平分BAC交BD于点E，若1=64，则2= .,5.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）,A6 B7 C8 D9,6.已知：如图，ABCD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P求证：P=90,8.如图1，求证：BOC=A+B+C,如图2，ABC=100，DEF=130，求A+C+D+F的度数,7.求证：三角形内角之和等于180,10.已知如图所示,在ABC中,DE/BC,F是AB上的一点,FE的延长线交BC的延长线于点G,求证EGHADE.,9.如图，已知，直线ABCD，证明：A+C=AEC.,

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