平面解析几何椭圆
42页1、武汉铁路桥梁学校 黄苏华 2003.11.,椭 圆,平面解析几何椭圆,2,定义 标准方程 几何特性 例题 小结 练习,椭 圆,平面解析几何椭圆,3,定 义,平面上与两定点F1、F2的距离之和(大于 F1 F2 )为常数的点的轨迹叫做椭圆。两定点 F1 和 F2 叫做椭圆的焦点。,F1,F2,M,平面解析几何椭圆,4,标准方程,以过两焦点F1和 F2的直线作为 x 轴,线段F1F2的中点 o 为原点,建立直角坐标系。,设两焦点之间的距离为2c (c0),则焦点的坐标分别是F1(c, 0)和F2 (-c, 0)。,y,o,(- c, 0),(c, 0),x,F2,F1,平面解析几何椭圆,5,标准方程,设M(x,y)为椭圆上任意一点,它到两焦点F1及F2的距离之和用2a(a0)表示。,根据椭圆的定义,MF1+MF2= 2a .,y,o,F2 (- c, 0),F1(c, 0),M (x , y),x,平面解析几何椭圆,6,根据两点间的距离公式,得,化简,整理得 (a2c2) x2 + a2y2 = a2(a2c2 ).,y,o,F2 (- c, 0),F1(c, 0),M (x , y),x
2、,因为在MF1F2中,M F1+M F2 F1F2, 所以2a2c,ac,a2c2, a2c2 0.,令a2c2 =b2,则有 b2x2+a2y2 = a2b2 .,用a2b2去除上式两边,得,(ab0) (1),标准方程,平面解析几何椭圆,7,说明:,(1)当a=b时,方程(1)便成为,这是圆心在原点,半径为a的圆的方程,可见圆是椭圆的特例。,方程(1)叫做椭圆的标准方程。,标准方程,(ab0) (1),平面解析几何椭圆,8,(2)如右图所示,设椭圆的焦点在 y轴上,焦点坐标为F1( 0, c )和F2 ( 0, -c ) (c0), 可得椭圆的标准方程为,说明:,(ab0) (2),其中a、b、c间的关系仍是,标准方程,(ab0) (1),平面解析几何椭圆,9,几何特性,由标准方程,(1)范围,可得,由此可知椭圆应该在由四条直线,所围成的矩形之内。,平面解析几何椭圆,10,由标准方程,(2)对称性,可知,椭圆有两条对称轴:X轴和Y轴。两条对称轴的交点(坐标原点)叫做椭圆的中心。,几何特征,平面解析几何椭圆,11,在标准方程,(3)与坐标轴的交点,可知椭圆与 y轴的交点是,中,,可知
3、椭圆与x轴的交点是,A2 (- a,0),A1(a ,0),B1 (0 , b),B2( 0,-b ),几何特征,平面解析几何椭圆,12,y,o,F2,F1,x,(3)与坐标轴的交点,A1、A2、B1、B2 四点叫做椭圆的顶点。,A2,A1,B1,B2,线段A1A2=2a叫做椭圆的长轴,a 叫做椭圆的长半轴;,线段B1B2= 2b 叫做椭圆的短轴,b 叫做椭圆的短半轴;,线段 F1F2 = 2c 叫做椭圆的焦距, c 叫做椭圆的半焦距。,几何特征,平面解析几何椭圆,13,注意:,(1) 根据椭圆的定义和它的形状, 可知椭圆的焦点一定在长轴上。,(2)a 、b、c三个量之间, 恒有“勾股弦”的关系: a 2 = b 2 + c 2 。,a,b,c,b,a,c,几何特征,平面解析几何椭圆,14,(4)椭圆的离心率,由右图可看出,当b/a的值愈接近于零时,椭圆就愈扁平;当 b/a 的值愈接近于1时,椭圆愈接近于圆。,所以当 c / a 的值愈接近于1时,椭圆就愈扁平;当 c / a 的值愈接近于零时,椭圆愈接近于圆。,几何特征,b,因此c / a 的值可以刻划出椭圆的扁平程度。,平面解析几何
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