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（全国通用版）2018-2019高中数学第二章平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.2 向量数量积的运算律练习新人教b版必修4

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常见问题

1、2.3.2向量数量积的运算律课时过关能力提升1.已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是()A.abB.abC.|a|=|b|D.a+b=a-b解析:|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2,|a-b|2=|a|2-2ab+|b|2.因为|a+b|=|a-b|,所以|a|2+2ab+|b|2=|a|2-2ab+|b|2,即2ab=-2ab,所以ab=0,所以ab.故选B.答案:B2.设向量a,b,c满足a+b+c=0,ab,|a|=1,|b|=2,则|c|2等于()A.1B.2C.4D.5解析:由a+b+c=0得c=-(a+b),于是|c|2=|-(a+b)|2=|a|2+2ab+|b|2=1+4=5.答案:D3.已知|a|=3,|b|=4,且(a+kb)(a-kb),则实数k的值为()A.B.43来源:学+科+网Z+X+X+KC.D.解析:由(a+kb)(a-kb)知(a+kb)(a-kb)=0,即|a|2-k2|b|2=0,因此9-16k2=0,所以k=34.答案:A4.已知a,b是非零向量,满足(a-2b)a,(b-2a)b,则a与b的夹角是()A.6

2、B.3C.23D.56解析:由已知得(a-2b)a=0,因此|a|2-2ab=0.同理(b-2a)b=0,即|b|2-2ab=0,于是有|a|=|b|,且ab=12|a|2,从而cos=ab|a|b|=12|a|2|a|a|=12,又0,所以a与b的夹角为3.答案:B5.如图,在菱形ABCD中,下列关系式不正确的是()A.ABCDB.(AB+BC)(BC+CD)C.(AB-AD)(BA-BC)=0D.ABAD=BCCD来源:学+科+网Z+X+X+K解析:由于AB=DC,AD=BC,所以ABAD=DCBC,故D项不正确.答案:D6.如图,在ABC中,ADAB,BC=3 BD,|AD|=1,则ACAD等于()A.23B.32C.33D.3解析:由图可得ACAD=(AB+BC)AD=ABAD+BCAD.ADAB,ABAD=0.又BC=3 BD,BCAD=3 BDAD=3(BA+AD)AD=0+3|AD|2=3.ACAD=0+3=3.答案:D7.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为3,以a,b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条对角线的长度为.答案

3、:38.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中ij=0,|i|=|j|=1,则ab=.答案:-639.设O,A,B,C为平面上的四个点,OA=a,OB=b,OC=c,且a+b+c=0,ab=bc=ca=-1,则|a|+|b|+|c|=.答案:3210.在边长为1的等边三角形ABC中,设BC=2BD,CA=3CE,则ADBE=.解析:由已知得AD=12(AB+AC),AE=23AC,BE=BA+AE=23AC-AB,所以ADBE=12(AB+AC)23AC-AB=1223|AC|2-|AB|2-13ABAC=1223-1-13cos60=-14.答案:-11.设ab,且|a|=2,|b|=1,k,t是两个不同时为零的实数.(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t);(2)求出函数k=f(t)的最小值.解:(1)ab,ab=0.又xy,xy=0,即a+(t-3)b(-ka+tb)=0,-ka2-k(t-3)ab+tab+t(t-3)b2=0.|a|=2,|b|=1,-4k+t2-3t=0,k=14(t2-3t)(t0),即k=f(t)=14(t2-3t)(t0).(2)由(1)知k=f(t)=14(t2-3t)=14t-322-916,故函数k=f(t)的最小值为-916.12.已知|a|=2,|b|=1,向量a与b的夹角为45,求使向量(2a+b)与(a-3b)的夹角为锐角的的取值范围.解:设向量(2a+b)与(a-3b)的夹角为.两向量的夹角为锐角,(2a+b) (a-3b)|2a+b|a-3b|0,(2a+b)(a-3b)0,即2a2+(2-6)ab-3b20.a2=|a|2=2,b2=|b|2=1,ab=|a|b|cos 45=2122=1,4+2-6-30,即2+-60,2.设2a+b=k(a-3b)=ka-3kb,2=k,=-3k,2=-6,则不存在,即向量(2a+b)与(a-3b)不共线.使向量(2a+b)与(a-3b)的夹角为锐角的的取值范围为2.4

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