实对称矩阵合同(共4篇)
24页1、为了适应公司新战略的发展,保障停车场安保新项目的正常、顺利开展,特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划实对称矩阵合同(共4篇)第九章二次型习题1证明,一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同2对下列每一矩阵A,分别求一可逆矩阵P,使是对角形式:(i)(ii)(iii)3写出二次型型,使后者只含变量的平方项的矩阵,并将这个二次型化为一个与它等价的二次4令A是数域F上一个n阶斜对称矩阵,即满足条件(i)A必与如下形式的一个矩阵合同:(ii)斜对称矩阵的秩一定是偶数(iii)F上两个n阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩复数域和实数域上的二次型1设S是复数域上一个n阶对称矩阵证明,存在复数域上一个矩阵A,使得2证明,任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一:3证明,任何一个n阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同:4证明,一个实二次型可以分解成两个实系数n元一次齐次多项式的乘积的充分且必要条件是:或者q的秩等于1,或者q的秩等于2并且符号差等于05令证明A与B在实数域上合同,并且求一可逆实矩阵P,使得6确定实二次型的秩和符号差7确定实二次型的秩和符号差8证明,
2、实二次型的秩和符号差与无关正定二次型1判断下列实二次型是不是正定的:;2取什么值时,实二次型,是正定的.3设A是一个实对称矩阵.如果以A为矩阵的实二次型是正定的,那么就说A是正定的.证明,对于任意实对称矩阵A,总存在足够大的实数,使得4证明,阶实对称矩阵,阶子式是正定的.是正定的,必要且只要对于任意5设是一个阶正定实对称矩阵.证明当且仅当A是对角形矩阵时,等号成立.提示:对作数学归纳法,利用定理的证明及习题4.6设是任意阶实矩阵.证明(阿达马不等式).提示:当时,先证明是正定对称矩阵,再利用习题5.主轴问题1对于下列每一矩阵A,求一个正交矩阵U,使得具有对角形式:;2设A是一个正定对称矩阵.证明:存在一个正定对称矩阵S使得3设A是一个阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U,使得提示:是正定对称矩阵.于是由习题2存在正定矩阵S,使得=.再看一下U应该怎样取4设使得是一组两两可交换的阶实对称矩阵.证明,存在一个阶正交矩阵U,都是对角形矩阵.提示:对作数学归纳法,并且参考,习题9.如何矩阵的等价,相似,合同?(1)A与B等价:A可以经一系列初等变换得B?PAQ?B?r(A
3、)?r(B)(A,B同型,P,Q可逆.)判断等价只需同型且秩相等.(2)A与B相似:P?1AP?B,P可逆.相似有四个必要条件:秩相同,特征值相同,特征多项式相同,行列式相同,如何判断两个一般的矩阵是否相似,考研大纲并不要求,但是如果A,B相似于相同的对角阵,则由相似关系有传递性知A,B相似.(3)A与B合同(仅限于对称矩阵):CTAC?B(C可逆)?A与B的正负惯性指数相同.判断合同前提都是实对称矩阵,然后判断正负特征值的个数是否完全相同,也即正负惯性指数相同即可.注:A,B合同?A,B等价?10?11?A,B相似A,B等价,例A?,B?等价但不相似0101?在A,B实对称的前提下,A,B相似?A,B合同.【例1】判定下列矩阵哪些等价,哪些相似,哪些合同?111?110?100?000?A?000?,B?001?,C?000?,D?011?.?000?000?000?011?【解】先看等价:r(A)?1,r(B)?2,r(C)?1,r(D)?1,故A,C,D等价.再看相似:r(A)?r(C)?r(D)?1,r(B)?2,排除B,考虑A,C,D,A,C的特征值为1,0,0,D的特征值为
4、2,0,0,从而排除D仅仅考虑A,C,A的特征值为1,0,0,且二重特征值0对应两个线性无关的特征向量,?100?A相似于对角阵C?000?,从而A,C相似.?000?最后看合同:合同仅限对称阵,仅仅考虑C,D,C的特征值为1,0,0,D的特征值为2,0,0,C的正惯性指数为1,负惯性指数为0,D的正惯性指数也为1,负惯性指数为0,C,D合同.?111?300?【例2】判断A?111?,B?000?是否等价,相似,合同,?111?000?【解】r(A)?r(B)?1,二者等价;?300?A为对称阵一定相似于对角阵B?000?;从而A一定合同于对角阵B.?000?矩阵的合同,等价与相似的联系与区别XX09113李娟娟一、基本概念与性质等价:1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B,则称矩阵A与B等价,记为A?B。2、矩阵等价的充要条件:A?B?同型,且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=B成立3、向量组等价,两向量组等价是指两向量组可相互表出,有此可知:两向量组的秩相同,但两向量组各自的线性相关性却不相同。合同:1、概念,两个n阶方阵A,B,若存在可逆矩阵P,使得A
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