实变函数心得体会

1、为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划实变函数心得体会测度论学习体会XX-09-0521:13:45|分类：默认分类|字号订阅测度论不仅是概率统计专业的基础，也是很多现代数学分支的基础，我学习测度论有一段时间了，写这个心得体会和大家交流。现在市面上流行的测度论书有不少，但我认为适合学习的有以下几本：1.首推Halmos的MeasureTheory。这本书内容写的极丰富，特别是其纯分析的处理方法引人入胜，一些测度论常用的技巧和测度论中经典的例子也在书中得到了充分的体现。除几何测度论外，该书对基本的测度论知识介绍得很全面。该书习题也是一大特色。此书的习题有易有难，想试下伸手的不妨一试。当然该书也有一些缺点，最显著的就是测度论中重要的方法-单调类方法涉及的比较少，这不能不说是一个遗憾。2.夏道行的实变函数函数论与泛函分析上册。这本书虽然名为实变函数，但实际上是测度论最基本的内容，这些内容虽然在Lebesgue意义下和实变函数论课程的内容多少有些重复，但是就其实质而言，不失为一本很好的测度论与实分析教材。3.严士健的测度

2、与概率。这本书虽然是对概率专业写的一本书，但其对测度论介绍很详细，特别适合自学。特别是其书上的习题，很能锻炼基础。4.严加安的测度论讲义。这本书的特点就是单调类方法介绍得很灵活，但其显著缺点就是书读起来不清晰。是一本很涩的书。5.陈杰诚，王斯雷现代实分析。这是一本在一般书店买不到的书，其原因就是该书错误很多，包括证明错误，打印错误在内的错误不下百处。但其特点也很显著，内容翔实，是一本全面掌握测度论方法和测度论内容不可多得的好处。陈老师透露，这本书即将再版。相信会得到读者的喜爱。下面就测度论最基本的内容进行介绍：1.集类知识与单调类定理。这是测度论中的基础，特别是单调类定理。这个定理是一个很要紧的定理。在后面证明测度唯一性定理，乘积测度存在定理等重要的定理中有涉及。在严加安书上这个定理有两个版本，目前也就是该书对单调类方法应用的最多。这个定理一定要掌握好，你看起来很难的问题，也许用这个定理会相当简单。2.测度的基本定义和性质这部分内容很多，但大多不难，而且各个书上也写得很多。这里值得一提的是Halmos的MeasureTheory中有有关内测度和非可测集合的内容，一般书上很难找到。3.可

3、测函数与可测函数的收敛这部分最重要的内容就是可测函数列的各种收敛。提醒一下，在夏道行书上有一个有关判定依测度收敛的引理很有用，而且有一个叶果洛夫定理的推广，不妨一试。在陈杰诚书上更是将各种收敛间的关系进行了总结，4.积分论这部分内容中，大体的内容各本书大概一致。但是Halmos的MeasureTheory中一致绝对连续定义的引进，将积分收敛的一些关系描述得很详细很清晰。而严加安书上有关丹尼尔积分的引入会增加这部分的知识内容，但个人认为有关丹尼尔积分的学习还是陈杰诚书上写得详细些。5.重积分这部分内容中，Halmos的MeasureTheory用最基础的知识诠释了重积分的基本定理。如果入门，可首先看这个内容。严士健书上对无穷乘积的乘积测度和积分描述得最详细，对概率论的同学是不可多得的。6.广义测度这部分重要的是两个分解定理，一般来讲Halmos的MeasureTheory中写得比较啰嗦。而夏道行书更是承袭了Halmos的MeasureTheory中方法。我最推崇严士健书上的证明方法，最简洁。以上应该是测度论最最基础的内容。7.测度环的内容这部分内容在Halmos的MeasureTheor

4、y中有涉及，但意义非凡，这部分内容用比较高的观点，融合代数的方法对测度论一些内容进行处理。比如缺原子的测度一定是连续测度这个命题。8.局部紧空间上测度论主要对比Halmos的MeasureTheory与严加安的测度论讲义。这部分最重要的定理是利斯表示定理。Halmos的MeasureTheory在这部分内容中引入容度，利用容度这个工具解决了这问题。严加安的测度论讲义则用序关系和丹尼尔积分的方法。这个处理方法和Rudin书上的方法一致，陈书上也是这样处理的。这种处理方法看起来观点很高，但我感觉实用性不强，倒是容度的方法很有意思，在loeve的概率论书上，有些胚紧的测度论基础不错，我初学测度论就用这本书。2.袁震东的近代概率引论，写得非常好，测度论部分很适合初学者入门，可以很快就理解基于测度论的概率论，重点非常突出，没有拘泥于那些繁琐形式推演，主线清晰，让读者很快就掌握测度论的主要内容，便于上手。以上这两本书现在好像已经在市面上看不到了。3.最近出版的北大程士宏的测度论与概率论基础也很好。4.还有一本赵容侠的测度与积分，可能很多高手看不起，但是对于那些在测度论苦海里挣扎的迷途羔羊来说，我还

5、是推荐他们读一读，这样就不至于找不到北。个人认为严加安的实在是过于晦涩，不适合初学。数学分析学习方法数学分析是基础课、基础课学不好，不可能学好其他专业课。工欲善其事，必先利其器。这门课就是器。学好它对计算科学专业的学生都是极为重要的。这里，就学好这门课的学习方法提一点建议供同学们参考。1.提高学习数学的兴趣首先要有学习数学的兴趣。两千多年前的孔子就说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”这里的“好”与“乐”就是愿意学、喜欢学，就是学习兴趣，世界知名的伟大科学家、相对论学说的创立者爱因斯坦也说过：“在学校里和生活中，工作的最重要动机是工作中的乐趣。”学习的乐趣是学习的主动性和积极性，我们经常看到一些同学，为了弄清一个数学概念长时间埋头阅读和思考；为了解答一道数学习题而废寝忘食。这首先是因为他们对数学学习和研究感兴趣，很难想象，对数学毫无兴趣，见了数学题就头痛的人能够学好数学，要培养学习数学的兴趣首先要认识学习数学的重要性，数学被称为科学的皇后，它是学习科学知识和应用科学知识必须的工具。可以说，没有数学，也就不可能学好其他学科；其次必须有钻研的精神，有非学好不可的韧劲，在深入钻研的过

6、程中，就可以领略到数学的奥妙，体会到学习数学获取成功的喜悦。长久下去，自然会对数学产生浓厚的兴趣，并激发出学好数学的高度自觉性和积极性。用兴趣推动学习，而不是用任务观点强迫自己被动地学习数学。2.知难而进，迂回式学习首先要培养学习数学分析的兴趣和积极性，还要不怕挫折，有勇气面对遇到的困难，有毅力坚持继续学习，这一点在刚开始进入大学学习数学分析时尤为重要。中学数学和大学数学，由于理论体系的截然不同，使得同学们会在学习该课程开始阶段遇到不小的麻烦，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。学习数学分析时要注意数学分析和高等数学要求不同的地方，否则你学习数学分析就与高等数学没有什么区别了；而且高等数学强调的是计算能力,数学分析强调的是分析的能力,分析的能力没有学到,就谈不上学好了数学分析。学好数学分析课程还有一个重要的原因是新生们体会不到的，数学分析的知识结构系统性和连续性很强，这些知识学得不扎实，肯定要影响后面知识的学习。同时将来考硕士，还是要考这门课程。如果大学第一年不把这门课程学好，将来可就难了。刚开始学习数学分析，会感觉很晕。对于老师所讲的知识，虽然表面上能听懂，但却不明白

7、知识背后的真正原因，所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了，课后习题都没几个会做的。其实感觉晕是很正常的，而且还得要晕上几个月才可能就会好的。所以要硬着头皮跟着老师学了下来。虽然感觉还是不太懂，虽然做作业仍然感觉很费劲，但始终不要放弃，这种状态是学习数学分析的一个必经之路，因此必须克服这个困难才能学好数学分析理论知识。除了要坚持外，还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为数学分析理论十分严谨，教科书在讲解初步知识时，有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想，因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。比如说，在“数学分析”一开始学习实数系的确界存在基本定理时，由于当时根本没什么基础，所以对于“引入这个定理的目的是什么？”这个问题怎么想也想不通，甚至觉得这个定理没有什么实质的意义。但到后来学到了多元部分的数学分析，以及专业课“实变函数”时，才开始慢慢理解它的真正目的。这里之所以要说明是实数系有确界存在的性质，即相当于有一种连续的性质，目的就是为了后面的极限和连续做铺垫的，因为只有在自变量能够连续变化的时候，考虑因变量的相应变化才有意义，进而才能研究函数的性

8、质。但是如果没有学到后面，只了解区间而不知其它一些怪异的点集时是很难想通这个问题的。所以，在开始学习数学分析时，可以考虑采取迂回的学习方式。先把那些一时难以想通的问题记下，转而继续学习后续知识，然后不时地回头,在复习时由于后面知识的积累就可能会想通以前遗留的问题，进而又能促进后面知识的深刻理解。这种迂回式的学习方法，使得温故不但能知新，而且还能更好地知故。但是，也并不是说在初学时就不去思考任何问题。相反，勤于思考是学好数学必备的好习惯，“数学是思维的体操”，只有坚持思考才能掌握它的理论体系和逻辑关系。因此，应该在学习时掌握尺度，既要保证有充分的思考，但同时又不能过于钻牛角尖。3.了解背景，理论式学习数学分析与中学数学明显的一个差异就在于数学分析强调数学的基础理论体系，而中学数学则是注重计算与解题。针对这个特点，学习数学分析就应该注重建立自己的数学理论知识框架。要学习理论体系，首先就应该知道为什么要建立这种理论，它的作用是什么，这就要了解数学的历史背景知识。比如“数学分析”在一开始就强调对?-N语言的掌握，而它的产生则是由于数学史上的“第二次数学危机”引起的。众所周知，Newton创立的

9、微积分，虽然在其应用方面取得了巨大的成就，但微积分在那时的理论基础是相当混乱的。Newton在求导数时先将无穷小量看成非零数作为分母，后来又将其视做零而舍去，因此这就导致了逻辑上的错误。为了给微积分奠定正确而坚实的基础，大数学家威尔斯特拉森在Cauchy的基础上提出了用?-N语言的方法来推出极限和导数的概念。借助?-N语言，可以十分清晰地展示出函数取极限的过程，而且在逻辑上也非常清楚严谨。这样，当了解了这些历史背景知识之后，就觉得学习?-N语言是很必要的，学起来也就自然得多了。除了了解背景帮助我们学习理论知识外，还要下苦功夫去学习。在接触了这些陌生的数学理论一段时间后，可能觉得看起来已经懂了，但其实自己不一定能真正掌握，尤其是那些证明中内含的逻辑关系最容易出错。所以在学习时，应该适当地记忆理论知识，有时还应该默写定理，只有通过默写才能发现自己在理论上的漏洞，才能培养出自己严密的理论、逻辑能力，这对以后的学习都是很有帮助的。4.把握三个环节，提高学习效率(1)课前预习适当的预习是必要的，了解老师即将讲什么内容，相应地复习与之相关内容。如果时间不多，你可以浏览一下教师将要讲的主要内容，获得一个大概的印象，这可以在一定程度上帮助你在课堂上跟上教师的思路，如果时间比较充裕，除了浏览之外，还可以进一步细致地阅读部分内容，并且准备好问题，看一下自己的理解与教师讲解的有什么区别，有哪些问题需要与教师讨论。如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。(2)认真上课注意老师的讲解方法和思路，其分析问题和解决问题的过程，记好课堂笔记，听课是一个全身心投入听、记、思相结合的过程。教师在有限的课堂教学时间中，只能讲思路，讲重点，讲难点。不要指望教师对所有知识都讲透，要学会自学，在自学中

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