2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(a卷)
12页1、20172017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷一试卷一试一、填空题1.设是定义在上的函数,对任意实数有.又当)(xfRx1)4()3(xfxf时,则的值为_.70 x)9(log)(2xxf)100(f2.若实数满足,则的取值范围是_.yx,1cos22yxyxcos3.在平面直角坐标系中,椭圆的方程为,为的上焦点,为xOyC1109:22 yxFCA的右顶点,是上位于第一象限内的动点,则四边形的面积的最大值为CPCOAPF_. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过 1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥中,过的平面将其体积平分,则棱与ABCP 1AB2APABPC 平面所成角的余弦值为_.6.在平面直角坐标系中,点集.在中随机取出三个点,则xOy1 , 0 , 1,),(yxyxKK这三点中存在两点之间距离为的概率为_.57.在中,是边的中点,是线段的中点.若,的面积为ABCMBCNBM3AABC,则的最小值为_.3ANAM 8.设两个严格递增的正整数数列满足:,对任意正整数,有 nnba ,20171010 ban,则的所有可能值为_.nnn
2、aaa12nnbb2111ba 二、解答题9.设为实数,不等式对所有成立.证明:.mk,12mkxxbax,22 ab10.设是非负实数,满足,求的321,xxx1321xxx)53)(53(32 1321xxxxxx最小值和最大值.11.设复数满足,且(其中表21,zz0)Re(1z0)Re(2z2)Re()Re(2 22 1zz)Re(z示复数的实部).z(1)求的最小值;)Re(21zz(2)求的最小值.212122zzzz20172017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷二试卷二试一.如图,在中,为的内心,以为圆心,为半径作圆ABCACAB IABCAAB,以为圆心,为半径作圆,过点的圆与,分别交于点(不同1IIB2IB,312QP,于点).设与交于点.证明:BIPBQRCRBR 二.设数列定义为, na11a.求满足的正整数的个数., 2 , 1,1 nnanananaannnn n20173 rarr三.将方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若3333 相邻连个小方格的颜色不同,则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设均是大于 1 的整数,是个不超过的互不相同的正整数,nm,nm naaa,21nm且互素.证明:对任意实数,均存在一个,使得naaa,21x)1 (nii,这里表示实数到与它最近的整数的距离.xmmxai) 1(2 yy20172017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷卷一试答案一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.20172017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷卷二试答案二试答案一.二.三.四.
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