2018-2019学年高中数学（人教a版 必修4）课件：1.2　任意角的三角函数1 第2课时

1、第2课时 三角函数线,一,二,三,思维辨析,一、有向线段 问题思考 1.直线、射线、线段有什么区别? 提示直线:没有端点,无限长;射线:只有一个端点,无限长;线段:有两个端点,有限长. 2.填空:有向线段 (1)定义:带有方向的线段叫做有向线段. (2)符号:方向与坐标轴的正方向相同为正,否则为负. (3)记法:有向线段AB的数量记为AB. (4)长度:有向线段AB的长度记为|AB|.,一,二,三,思维辨析,二、三角函数线 问题思考 1.假设第一象限角的终边与单位圆的交点为P,由点P向x轴作垂线,垂足为M,由三角函数的定义可知sin ,cos 的值恰好等于线段MP,OM的长度,当为第二象限角、第三象限角、第四象限角时,按照同样的作法,sin ,cos 的值是否还等于线段MP,OM的长度?如果不相等,那么sin ,cos 值的正负与有向线段MP,OM的数量有何关系? 提示当为第二象限角、第三象限角、第四象限角时,sin ,cos 的值不等于线段MP,OM的长度,sin ,cos 值的正负与有向线段MP,OM的数量是一致的.,一,二,三,思维辨析,2.填空:三角函数线 如图,设单位圆与x轴

2、的正半轴交于点A,与角的终边交于点P(角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合).过点P作x轴的垂线PM,垂足为M,过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于点T,这样就有sin =MP,cos =OM ,tan =AT .单位圆中的有向线段MP,OM,AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.,一,二,三,思维辨析,3.做一做:如图,210角的正弦线为 ,余弦线为 ,正切线为 .,解析由三角函数线的定义可知,210角的正弦线为MB,余弦线是OM,正切线是PD. 答案MB OM PD,一,二,三,思维辨析,三、特殊角的三角函数线 问题思考 1.0,180角的正弦线、余弦线,正切线有什么特点?90,270角的正弦线、余弦线有何特点?90,270角的正切线能否作出? 提示0,180角的正弦线是一个点、余弦线与半径重合,正切线是一个点;90,270的正弦线与半径重合、余弦线是一个点,正切线不存在. 2.填空:特殊角的三角函数线 当角的终边与x轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点,此时角的正弦值和正切值都为0;当角的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线

3、不存在,此时角的余弦值为0,正切值不存在.,一,二,三,思维辨析,3.做一做:下列角的正切线不存在的是( ),解析当角的终边与y轴重合时,正切线不存在. 的终边在y轴的非负半轴上,正切线不存在. 答案B,一,二,三,思维辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)三角函数线是有向线段,既有大小,又有方向. ( ) (2)正弦线的起点一定在x轴上,余弦线的起点一定是原点,正切线的起点一定是(1,0). ( ) (3)三角函数线只能表示0360之间角的三角函数值. ( ) (4)任意大小的角都有正切线. ( ) (5)若角的余弦线是长度为单位长度的有向线段,则其终边落在x轴的正半轴上. ( ) (6)终边在第一、三象限角的平分线上的角的正、余弦线,长度相等、符号相同. ( ) 答案(1) (2) (3) (4) (5) (6),探究一,探究二,探究三,思维辨析,作三角函数线 【例1】 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.,解如图.,其中,各角的正弦线都是MP,余弦线都是OM,正切线都是AT.,探究一,探究二,探究三,三角函数线的作法步骤: (1)作平面直

4、角坐标系和角的终边. (2)作单位圆,圆与角的终边的交点为P,与x轴正半轴的交点为A. (3)过点P作x轴的垂线,垂足为M. (4)过点A作x轴的垂线,与角的终边或其反向延长线交于点T. (5)有向线段MP,OM,AT分别为角的正弦线、余弦线和正切线.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用三角函数线比较三角函数值的大小,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用三角函数线比较大小的步骤:利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:(1)角的位置要“对号入座”;(2)比较三角函数线的长度;(3)确定有向线段的正负.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2(1)下列关系正确的是( ) A.sin 10cos 10sin 20 B.sin 20sin 10cos 10 C.sin 10sin 20cos 10 D.sin 20cos 10|OM1|M1P1|M2P2|,cos 10cos 20sin 20sin 10,故选C. 答案C,探究一,探究二,探究三,思维辨析

5、,(2)解如图所示,角的终边交单位圆于点P,过点P作PMx轴于点M,过x轴的正半轴与单位圆的交点A作单位圆的切线AT,交角的终边于点T,连接AP,则有MP=sin ,AT=tan ,SOAPS扇形OAPSOAT.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用三角函数线求角的范围 【例3】 根据下列条件,求角的取值集合:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用三角函数线求角的取值集合的方法 利用三角函数线求角的取值集合,关键是恰当地寻求点,一般来说,对于sin xb,cos xa(或sin xb,cos xa),只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点和交点即得角的终边所在的位置,此时根据方向即可确定相应的x的范围;对于tan xc(或tan xc),则取点(1,c),连接该点和原点即得角的终边所在直线的位置,结合图象可得.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,忽视角的范围致误,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当所求角的范围包含了终边落在x轴非负半轴上的角时,应特别注意角的范围的表达形式,这时可以用一个区间来表示(须用到负角),也可用两个区间并集来表示.,1,2,3,4,5,1.下列说法不正确的是( ) A.当角的终边在x轴上时,角的正切线是一个点 B.当角的终边在y轴上时,角的正切线不存在 C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化 D.余弦线和正切线的始点都是原点 解析余弦线的起点是原点,但正切线的始点是(1,0)点. 答案D,1,2,3,4,5,2.已知角是第四象限角,则角的正弦线MP是下图中的( ),解析正弦线的画法是:作角的终边,与单位圆交于点P,作PM垂直x轴于点M,则有向线段MP是正弦线,故A正确. 答案A,1,2,3,4,5,解析,答案D,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,

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