数学物理方程(谷超豪)课后答案
25页1、1第一章波动方程第一章波动方程1 1 1 1 方程的导出。定解条件方程的导出。定解条件 1细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以 u(x,t)表示静止时在 x 点处的点在时刻 t 离开原来位置的偏移,假设振动过程发生的张力服从虎克定律,试证明满足方程),(txu( ) = xuExtuxt其中为杆的密度,为杨氏模量。E证:在杆上任取一段,其中两端于静止时的坐标分别为与。现在计算这段杆在时x+xx 刻 的相对伸长。在时刻 这段杆两端的坐标分别为:tt),();,(txxuxxtxux+其相对伸长等于),(),(),(txxuxxtxuxtxxuxxx+=+令,取极限得在点的相对伸长为。由虎克定律,张力等于0xxxu),(tx),(txT),()(),(txuxEtxTx=其中是在点的杨氏模量。)(xEx设杆的横截面面积为则作用在杆段两端的力分别为),(xS),(xxx+xuxSxE)()(xuxxSxxEtx)()();,(+).,(txx+于是得运动方程ttuxxsx )()(xESutx=),(xxxxxESuxx| )(| )(+利用微分中值定理,消去,再令得x0xttux
2、sx)()(x=xESu()若常量,则得=)(xs=22 )(tux)(xuxEx 即得所证。2在杆纵向振动时,假设(1)端点固定,(2)端点自由,(3)端点固定在弹性支承上,试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。解:(1)杆的两端被固定在两点则相应的边界条件为lxx= , 0. 0),(, 0), 0(=tlutu(2)若为自由端,则杆在的张力|等于零,因此相应的边lx=lx=xuxEtlT=)(),(lx=界条件为|=0xu lx=同理,若为自由端,则相应的边界条件为0=xxu 00=x(3)若端固定在弹性支承上,而弹性支承固定于某点,且该点离开原来位置的偏移lx=由函数给出,则在端支承的伸长为。由虎克定律有)(tvlx=)(),(tvtluxuE)(),(tvtluklx=其中为支承的刚度系数。由此得边界条件k其中)(uxu+)(tflx=Ek=特别地,若支承固定于一定点上,则得边界条件, 0)(=tv。)(uxu+0=lx同理,若端固定在弹性支承上,则得边界条件0=xxuE)(), 0(0tvtukx=即)(uxu).(0tfx=3. 试证:圆锥形枢轴的纵振动方程为22 22
3、)1 ()1(tu hx xu hx xE=其中为圆锥的高(如图 1)h 证:如图,不妨设枢轴底面的半径为 1,则x点处截面的半径 为:lhxl=12所以截面积。利用第 1 题,得2)1 ()(hxxs=)1 ()1 ()(2 22 2 xu hxExtu hxx=若为常量,则得ExE=)(22 22)1 ()1(tu hx xu hx xE=4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定,在它本身重力作用下,此线处于铅垂平衡位置, 试导出此线的微小横振动方程。解:如图 2,设弦长为 ,弦的线密度为,则点处的张力为lx)(xT)()(xlgxT=且的方向总是沿着弦在点处的切线方向。仍以表示弦上各点在时刻 沿垂直于)(xTx),(txutx轴方向的位移,取弦段则弦段两端张力在轴方向的投影分别为),(xxx+u)(sin)();(sin)(xxxxlgxxlg+其中表示方向与轴的夹角)(x)(xTx又.sinxutg=于是得运动方程xuxxltux+=)(22 xuxlgxx+gx利用微分中值定理,消去,再令得x0x。)(22xuxlxgtu =5. 验证在锥0 中都满足波动方程 2221),(
4、 yxttyxu =222yxt222222yu xu tu +=证:函数在锥0 内对变量有 2221),( yxttyxu =222yxttyx,二阶连续偏导数。且tyxttu=23 222)(225 22223 222 22 )(3)(tyxtyxt tu+= )2()(22223 222yxtyxt+=xyxtxu=23 222)()()225 22223 222 22 3xyxtyxt xu+= ()()22225 2222yxtyxt+=同理() ()22225 222 22 2yxtyxt yu+= 所以()().22222225 222 2222tuyxtyxt yuxu=+= + 即得所证。 6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力) 与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为 b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微 分方程.解: 利用第 1 题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段上所受的摩阻力.由题设,单位质()xxx+,量所受摩阻力为,故上所受摩阻力为tub()xxx+,( ) ( )tuxxsxpb运动方程为:(
《数学物理方程(谷超豪)课后答案》由会员n****分享,可在线阅读,更多相关《数学物理方程(谷超豪)课后答案》请在金锄头文库上搜索。
项目二财务管理价值观念
山东省安全生产风险分级管控与隐患排查治理信息化系统交流材料-2018.9.26
人教版高中地理必修3第一章地理环境与区域发展第二节《地理信息技术在区域地理环境研究中的应用》
第三章2房地产抵押贷款-固定利率抵押贷款
第八章工程质量法律制度
第25讲家庭电路与安全用电
餐厅点餐系统项目
项目7水箱水位控制
框架完整个人年度工作总结范文模板
科目名称-国土交通省
金融工程09课件
高校自主招生之结构化面试
房地产私募股权投资基金(PE)专题研究.
房地产基础知识培训2012
第一章食品检测技术基础知识
第10章网站设计与建设综合实例
第5章尝试迷人的机器人项目机器人灭火项目
自考英语二unit3
企业人力资源管理师第六章劳动法与劳动关系管理
第三章市场营销宏观环境分析
2023-06-24 16页
2023-07-12 13页
2023-09-06 6页
2023-01-09 15页
2023-03-02 7页
2023-01-26 9页
2023-03-17 8页
2023-02-22 13页
2023-08-04 12页
2023-01-05 2页