实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案
45页1、第一章习题参考解答 1 第一章习题参考解答第一章习题参考解答 3等式)()(CBACBA成立的的充要条件是什么? 解解: 若)()(CBACBA,则 ACBACBAC)()(. 即,AC . 反过来, 假设AC , 因为BCB. 所以, )(CBABA. 故, CBA)()(CBA. 最后证,CBACBA)()( 事实上,)(CBAx, 则Ax且CBx。若Cx,则CBAx)(; 若Cx,则Bx,故CBABAx)(. 从而, CBACBA)()(. AACBACBAC)()(. 即 AC . 反过来,若AC ,则 因为BCB所以)(CBABA 又因为AC , 所以)(CBAC故 )()(CBACBA 另一方面,AxCBAx)(且CBx, 如果Cx则 CBAx)(; 如 果,Cx因 为CBx, 所 以Bx故BAx. 则 CBAx)(. 从 而 CBACBA)()( 于是,)()(CBACBA 4对于集合 A,定义 A 的特征函数为 Ax Ax x A , 0 , 1 )(, 假设 n AAA, 21 是 一集列 ,证明: (i))(inflim)( inflim xx n n A n n
2、A (ii))(suplim)( suplim xx n n A n n A 证明证明: (i))(inflim n nmNn n n AAx ,N N 0 n, 0 nm 时, m Ax. 所以1)(x m A ,所以1)(inf 0 x m A nm 故1)(infsup)(inflim xx mn A nm Nb A n 第一章习题参考解答 2 NnAx n n inflim,有nkAx nn nm 有0)(inf0 xAx m n km A nm Ak , 故0)(i n fs u p x m A nm Nb , 即)(i n flimx n A n =0 , 从而)(inflim)( inflim xx n n A n n A 5设 n A为集列, 11 AB ,) 1( 1 1 iAAB j i j ii 证明 (i) n B互相正交 (ii) i n i i n i BANn 11 , 证明证明: (i)mnNmn,;不妨设 nm,因为 mni n i nn AAAAB 1 1 ,又因 为 mm AB ,所以 mnmnn BAAAB,故 mn BB ,从而 1 n n B
3、相互正交. (ii)因为)1 (nii,有 ii AB ,所以 i n i i n i AB 11 ,现在来证: i n i i n i BA 11 当 n=1 时, 11 BA ; 当1n时,有: i n i i n i BA 11 则)()()()()( 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 i n i ni n i i n i ni n i ni n i i n i BBBAAAAAA 事实上, i n i Ax 1 ,则)1 (nii使得 i Ax,令niAxii i 1|min 0 且 则 i n i ii i i i BBAAx 1 1 1 0 0 0 ,其中,当1 0 i时, i i i A 1 1 0 ,从而, i n i i n i BA 11 6设)(xf是定义于 E 上的实函数,a 为常数,证明: (i))(|axfxE= 1 )( 1n axf n (ii)(|axfxE= 1 )( 1n axf n 证明:证明: (i))(|axfxExEx且axf)( 1 )(| 1 )(, n axfxExExa n axfNn且使得 x )(| 1 )(| 1 ax
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