高等数学不定积分讲解

1、第 3、4 次课 4 学时课程安排：1 学期，周学时 2 , 共 48 学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：不定积分的概念与性质教学要求：1. 理解不定积分的概念 2. 理解不定积分的性质；3. 熟记基本积分表。重 点：不定积分的性质和基本积分表难 点：不定积分的概念教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配： 1.不定积分的概念 （25） 2.不定积分的性质 （30） 3.基本积分表 （30）4. 习题 （90）课后作业参考资料不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质1 1、复习复习 1313 个基本导数公式个基本导数公式. .2 2、原函数与不定积分的概念、原函数与不定积分的概念. .（1 1）定义）定义 1 1 在区间I上，如果可导函数的导函数为，即对任一xI，都 F x( )f x有或=， ( )Fxf x( )dF xdxxf)(那么函数就称为(或)在区间I上的原函数. F x( )f x f x dx（2 2）原函数存在定理）原函数存在定理 如果函数在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函( )f x数, 使对任一x I 都有F (x). F x( )f x

2、注：注： 1、如果函数在区间I上有原函数, 那么就有无限多个原函数. ( )f x F x( )f x都是的原函数. (其中C是任意常数) ( )F xC( )f x2、的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果(x)和都是的原( )f x F x( )f x函数,则(为某个常数). ( )xF xCC简单地说就是,连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数. . 定义定义 2 2 在区间I上, 函数的带有任意常数项的原函数称为(或)在( )f x( )f xdxxf)(区间I上的不定积分. 记作 , 其中记号称为积分号, 称为被积函数, dxxf)( )f x称为被积表达式,称为积分变量. dxxf)(x3 3、例题讲解、例题讲解. .例 1 因为是的原函数,所以.sin xcosxCxxdxsincos因为是的原函数, 所以 .xx21Cxdxx21例 2. 求函数的不定积分xxf1)(解：当时，(ln x)，().0x x1Cxdxxln 10x 当时，ln(x)，().合并上面两式,得到 0x xx1) 1(1Cxdxx)ln( 10x (x0).Cxdxx|ln 1例 3. 求

3、2.x dx解 由于，所以是的一个原函数，因此.3 2 3xx33x2x3 2 3xx dxC4 4、变式练习、变式练习5 5、积分曲线、积分曲线 函数的原函数的图形称为的积分曲线,从不定积分的定义,即可( )f x( )f x知下述关系 或 . )()(xfdxxfdxddxxfdxxfd)()(又由于是的原函数,所以或记作. ( )F x FxCxFdxxF)()(CxFxdF)()(6 6、基本积分表（略）、基本积分表（略）. .例 4. . dxxdxx3 31CxCx 213 21 131例 5. . dxxdxxx25 2Cx 1251251Cx 2772Cxx3 727 7、不定积分的性质、不定积分的性质. .性质性质 1 1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即. dxxgdxxfdxxgxf)()()()(这是因为, f(x)g(x).)()()()(dxxgdxxfdxxgdxxf性质性质 2 2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即(是常数,) dxxfkdxxkf)()(k0k 例 6. .dxxxdxxx)5() 5(21

4、 25 2dxxdxx21 25 5dxxdxx21 25 5. Cxx23 2732572例 7. dxxxxdxxxxxdxxx)133(133) 1( 222323 . Cxxxxdxxdxxdxdxx1|ln332111332 28.8.变式练习变式练习(1) (2) (3) 2dxxx31()xdxx22xx dx（）(4) (5) (6) (3)x xdx422331 1xxdxx 221xdxx(7) (8) (9) xdxxxx34134（-+-）22232()11dxxxx x xdx(10) (11) (12) (13)221 (1)dxxx211xxedxe3xxe dx2cot xdx第 5 次课 2 学时课程安排：1 学期，周学时 2 , 共 48 学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：第一类换元积分法教学要求：1. 掌握第一类换元积分法重 点：第一类换元积分法难 点：凑微分教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配： 1.第一类换元积分法理论 （25） 2.练习 （65）课后作业参考资料第一类换元积分法第一类换元积分法1 1、回顾旧知回顾旧知 （

5、1）复习 13 个常见积分公式（2）思考：对吗？cos2sin2xdxxC2 2、第一类换元法、第一类换元法. .设有原函数 且可微 那么 根据复合函数微分法 有( )f u( )F u( )ux( )x ( )( )( ) ( )( ) ( )( )dFxdF uF u duFx dxFxx dx即 )()()()()()(xuduufxdxfdxxxf( ) ( )CuxF u ( )CFx定理定理 1 1 设具有原函数 可导 则有换元公式( )f u( )ux CxFCuFduufxdxfdxxxf)()()()()()()(3 3、讲授例题、讲授例题. .例 1 1cos2cos2(2 )2xdxxx dx1cos2(2 )2xdx 211cossin22ux uduuC 令1sin22xC例 2 dxxxdxx)23 (231 21 231)23 (231 21xdx3 2111ln |22ux duuCu 令 Cx |23 |ln21例 3 = xdxdxxxxdxcoscos1 cossintanln |cos|xC例 4 求6secd .x x解 6222secd(ta

6、n1)secx xxxdx42(tan2tan1) dtanxxx5312tantantan53xxxC4 4、变式练习、变式练习. .） ） dxx3)23(332xdx） ） dtttsin)ln(lnlnxxxdx） ）xxdx sincosxxeedx） ） dxxx)cos(2dxxx4313第 6 次课 2 学时课程安排：1 学期，周学时 2 , 共 48 学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：第一类换元积分法教学要求：1. 掌握第一类换元积分法重 点：第一类换元积分法难 点：凑微分教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配： 1.练习 （90）课后作业参考资料第一类换元积分法第一类换元积分法1 1、复习旧知复习旧知. . （1 1）1313 个常见的积分公式个常见的积分公式. . （2 2）第一类换元积分法第一类换元积分法. . 2 2、例题讲解（较难的积分）例题讲解（较难的积分）. .例 1. xdxxxdxsinsinsin23xdxcos)cos1 (2xxdxdcoscoscos2Cxx3cos31cos例 2. dxxxdx22cos1cos2)2c

7、os(21xdxdxxxddx22cos41 21Cxx2sin41 21例 3. dxxxdxsin1cscdxxx 2cos2sin21Cx xxdxxxd |2tan|ln2tan2tan2cos2tan22ln |csc x cot x |C 即 ln |csc x cot x |C xdxcsc例 4. ln |sec x tan x | C dxxxdx)2csc(secCxx| )2cot()2csc(|ln即 ln |sec x tan x | Cxdxsec3 3、变式练习变式练习. .1） 2） dxxx3cossindx xx24913） 4）122xdxdxx3cos5) 6) xdxx3cos2sinxdxxsectan37) 8)dxxx239dxxx22sin4cos319) 10)dx xx 2arccos2110dxxxx )1 (arctan4 4、小结小结（1）分项积分：利用积化和差; 分式分项;；221sincosxx等（2）降低幂次：利用倍角公式 , 如.2211 22cos(1 cos2 );sin(1 cos2 )xxxx（3）统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法.（4）巧妙换元或配元第 7 次课 2 学时课程安排：1 学期，周学时 2 , 共 48 学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：第二类换元积分法教学要求：1. 理解第二类换元积分法重 点：第二类换元积分法难 点：第二类换元积分法 教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配： 1.第二类换元积分法理论 （25） 2.练习 （65）课后作业参考资料第二类换元积分法第二类换元积分法1 1、复习第一类换元积分法、复习第一类换元积分法. .2 2、第二类换元法、第二类换元法. .（1 1）定理）定理 1 1 设是单调的、可导的函数 并且0 又设f 具x t t t t有原函数F 则有换元公式 tCxFtFdtttfdxxf)()()()()(1其中 是的反函数 这是因为 t1 xx t )()(1)()()()(

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