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《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案

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1、高等数学试卷（同济六版上）一、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1、若函数，则（）.xxxf)( )(lim 0xf xA、0 B、 C、1 D、不存在12、下列变量中，是无穷小量的为（）.A、 B、 C、 D、1ln(0 )xxln(1)xx cos(0)x x 22(2)4xxx3、满足方程的是函数的（）.0)( xfx)(xfy A、极大值点 B、极小值点 C、驻点 D、间断点4、函数在处连续是在处可导的（）.)(xf0xx )(xf0xx A、必要但非充分条件 B、充分但非必要条件 C、充分必要条件 D、既非充分又非必要条件 5、下列无穷积分收敛的是（）.A、 B、 C、 D、0sin xdxdxex02dxx01dxx01二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）6、当 k= 时，在处连续.2,0( ),0xexf xxkx0x7、设,则.xxyln_dx dy8、曲线在点（0，1）处的切线方程是 .xeyx9、若，为常数，则.Cxdxxf2sin)(C( )_f x 得分评卷人得分评卷人10、定积分=_.dxxxx5542

2、31sin三、计算题（本题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分）11、求极限 .xxx2sin24lim 012、求极限 .2cos1 20limxtxedtx13、设，求.)1ln(25xxeydy14、设函数由参数方程所确定，求和.)(xfy tytx arctan)1ln(2dy dx22dxyd得分评卷人15、求不定积分.212sin3 dxxx16、设，求.,0 ( )1,01xex f xxx20(1)f xdx四、证明题（本题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）17、证明：= ().dxxxnm)1 (10dxxxmn)1 (10Nnm,18、利用拉格朗日中值定理证明不等式：当时，.0ablnbabba baa得分评卷人得分评卷人五、应用题（本题共 2 小题,第 19 小题 8 分，第 20 小题 10 分,共 18 分）19、要造一圆柱形油罐，体积为 V，问底半径 r 和高 h 各等于多少时，才能使表面积最小？20、设曲线与所围成的平面图形为 A，求2xy 2yx （1）平面图形 A 的面积；（2）平面图形 A 绕轴旋转所产生的旋转体的体积.y高等数学试

3、卷（同济六版上）答案答案一选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1-5 DBCAB 二填空题（每小题 3 分，本题共 15 分）6、1 7、 8、 9、 10、1x x1y 2cos2x0三、计算题（本题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分）11、解： 3 分xxx2sin24lim 00limsin2 ( 42)xx xx6 分 0121lim28sin2 ( 42)xx xx12、解： 3 分2cos102limxdtex tx2cos0sinlim2xxxe x6 分1 2e 13、解： 4 分) 111 ( 1122xxxy 6 分211x14、解： 3 分t ttt dxdy 211211226 分2222321 12()24 1d ytddydxtdttdt dxdxt t 15、解： 3 分212122sin(3)sin(3) (3)23dxdxxx 6 分12cos(3)2Cx16、解： 3 分01101120d)(d)(d )(d) 1(xxfxxfxxfxxf0110d 1xxe dxx10 10|ln(1)xex6 分11ln2e 四、证明题（本题共

4、2 小题，每小题 8 分，共 16 分）17、证明： 4 分1001(1)(1)mnmnxxdxtt dt 8 分1100(1)(1)mnmntt dtxx dx18、、证明：设 f(x)lnx ， , xa b0ab显然 f(x)在区间上满足拉格朗日中值定理的条件根据定理有 , a b4 分( )( )( )(),.f bf afba ab由于因此上式即为 1( )fxxlnlnbaba又由 .abbababa ba当时， 8 分0ablnbabba baa五、应用题（本题共 2 小题,第 19 小题 8 分，第 20 小题 10 分,共 18 分）19、解：2Vr h表面积 4 分222 2222222VVSrrhrrrrr令2240VSrr得 32Vr3 22Vh答：底半径和高，才能使表面积最小。 8 分32Vr3 22Vh20、解：曲线与的交点为（1，1）， 2 分2xy 2yx 于是曲线与所围成图形的面积 A 为 2xy 2yx 6 分3131 32)(1 021023 2xxdxxxAA 绕轴旋转所产生的旋转体的体积为：y10 分103 52)(10521042 yydyyyV

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