信号统计分析-随机信号与系统

1、第2章 随机信号与系统,信号统计分析,本章内容,2.1 信号与系统概述 2.2 随机信号通过线性时不变系统 2.3 随机序列通过线性时不变系统 2.4 白噪声通过线性时不变系统 2.5 白噪声序列和平稳随机序列的参数模型 2.6 随机信号通过线性时变系统 2.7 随机信号通过非线性系统 2.8 随机信号的复表示,2.1 信号与系统概述,2.1.1 信号及其分类 2.1.2 系统及其分类,2.1.1 信号及其分类,信号概念：信号是信息的表现形式，通常反映为随若干变量而变化的某种物理量。在数学上，信号一般可以表示成单个或多个自变量的函数。 信号分类：根据信号的函数特点及其频谱分布特性分。,1.根据信号变化规律是否预知,确定信号 随机信号,2.根据函数自变量的取值是否连续,3.根据信号按一定间隔是否周期重复,举例周期信号 , 周期非周期信号,4.根据信号的能量或功率是否为有限值,结论 能量信号的平均功率为零 周期信号一般是功率信号 非周期信号可能是能量信号或功率信号,5.根据信号频谱的分布特性,基带信号 高频带通信号,窄带信号形式：,式中 和 相对于载波变化缓慢。复信号形式：其中 称为信号

2、的复包络， 和 称为信号 的两 个正交分量。 希尔伯特变换是构成信号复表示的基本方法。,2.1.2 系统及其分类,系统概念：在信号处理领域，系统可以看作是能够导致任何一种信号变换的过程，在数学上表示为函数形式。系统分类：根据系统处理的信号形式及具有的某些性质分为如下几类。,1.连续系统与离散系统,2.记忆系统与无记忆系统,举例: 无记忆系统，如电阻器、检波器、限幅器等。 记忆系统，如积分器、平滑器、累加器等。,3.线性系统与非线性系统,齐次性：是指当输入被扩大K倍后，系统的输出也相应地被扩大K倍； 叠加性：是指当有多个输入同时作用于系统时，系统的输出等于各个输入单独作用后系统的输出之和。,4.时变系统与时不变系统,5.稳定系统与不稳定系统,6.因果系统与非因果系统,举例 因果系统，如无记忆系统，积分器等。 非因果系统，如平滑器等。,7.可逆系统与不可逆系统,8.最小相移系统与非最小相移系统,滤波：已知一个输入信号，将其通过一个已知的系统 来寻求输出信号。 逆滤波：根据一个已知系统的输出信号来恢复出系统的输入信号。 系统辨识：已知一个输入信号，根据其通过一个系统的输出信号来寻求系统传输函

3、数。 盲分离和盲均衡：根据一个系统的部分特性和输出信号确定系统传输函数并恢复输入信号。,2.2 随机信号通过线性时不变系统,2.2.1 系统输出的均值 2.2.2 系统输出的自相关函数和功率谱密度函数 2.2.3 系统输入与输出的互相关函数和互功率谱度函数,随机信号通过线性时不变系统,输出对于稳定系统，有 。系统输出端得到一系列新的样本函数 ，这些样本函数的集合就构成随机信号 。,示意图,2.2.1 系统输出的均值,输出 的均值：当输入 广义平稳时， ，则：可见，输出均值与时间无关。,2.2.2 系统输出的自相关函数和功率谱密度函数,输出 的自相关函数：当输入 广义平稳，即 ， 则输出 的均方值，即平均功率为：,根据维纳-辛钦定理，输出 的功率谱密度函数：,定义 ， 的傅立叶变换为：得到：,结论：,如果广义平稳随机信号 通过线性时不变系统，输出随机信号也广义平稳。 广义平稳随机信号通过线性时不变系统，输出功率谱密度等于输入功率谱密度乘以系统传输函数模的平方。,2.2.3 系统输入与输出的互相关函数和 互功率谱密度函数,互相关函数： 当输入 广义平稳， ，则：同理可得 和 结论：广义平稳

4、随机信号通过线性时不变系统，其输入与输出联合广义平稳。,互功率谱密度函数：同理可得 结论：当广义平稳随机信号通过线性时不变系统，系统输出广义平稳，且输出与输入联合广义平稳。,系统输入、输出之间的统计关系图:,结论：上述分析虽然基于物理不可实现的线性时不变系统，但是当广义平稳随机信号通过物理可实现的线性时不变系统时，相关结论仍然成立，只是此时 。,当系统输入 只从 时刻开始加入，即,输入输出特性为： 结论：尽管输入 广义平稳，但输出 不再是平稳 的。,2.3 随机序列通过线性时不变系统,2.3.1 系统输出的均值 2.3.2 系统输出的自相关函数和功率谱密度函数 2.3.3 系统输入与输出的互相关函数和互功率谱密度函数,随机序列通过线性时不变系统示意图:,对于稳定系统：系统输出端得到一系列新的样本函数 ，这些样本函数的集合就构成随机序列 。,2.3.1 系统输出的均值,当输入 广义平稳， ，则可见，输出均值与时间无关。,定义：,2.3.2 系统输出的自相关函数和 功率谱密度函数,系统输出的自相关函数：当输入 广义平稳,输出的均方值即平均功率为：,结论：当广义平稳随机序列 从时刻 开始就加

5、入 到线性时不变系统，其输出随机序列也广义平稳。,利用维纳-辛钦公式，可得输出 的功率谱密度函数：,其中， ， 为广义平稳输入的功率谱密度函数。可见，输出功率谱密度只与系统的幅频特性有关，而与系统的相频特性无关。,2.3.3 系统输入与输出的互相关函数和 互功率谱密度函数,当输入 广义平稳，有则：,互功率谱密度函数：,结论： 当广义平稳随机序列 从时刻 开始就加入到线性时不变系统，则系统输出广义平稳，且输出与输入联合广义平稳。 如果广义平稳随机序列 是从时刻 开始加入到系统，即 ，系统输出不再平稳。,2.4 白噪声通过线性时不变系统,2.4.1 系统输出的一般特性及等效噪声带宽 2.4.2 白噪声通过理想低通系统 2.4.3 白噪声通过理想带通系统 2.4.4 白噪声通过具有高斯频率特性的带通系统,2.4.1 系统输出的一般特性,白噪声：均值为零、功率谱密度均匀分布在无限宽的频带范围内。 色噪声：不具有上述均匀功率谱的噪声。 带限白噪声：通常情况下，只要平稳随机过程的功率谱密度在比系统带宽大得多的频率范围内近似均匀分布，就可以将其视为白噪声。,根据维纳-辛钦定理，白噪声的自相关函数以及

6、功率谱密度为：,结论：白噪声在任意相邻时刻的取值都是不相关的，且平均功率无限大。上述定义的白噪声只是一种理想化的噪声模型，在实际中是不可能存在的。,白噪声通过线性时不变系统输出的统计特性：,结论： 可用白噪声激励一个线性时不变系统，产生具有特定二阶统计特性的平稳随机过程； 白噪声通过线性时不变系统后，输出一般是色噪声。 用白噪声激励一个未知的线性时不变系统，可通过估计系统输出与输入的互相关函数（或互功率谱密度）辨识系统。 某些色噪声通过线性时不变系统（最小相位系统）后可得白噪声，即预白化。,等效噪声带宽：理想系统输出噪声的平均功率等于实际系统输出的平均功率，且理想系统在通带范围内的幅度值等于实际系统幅频响应的最大值，则理想系统的带宽就定义为实际系统 的等效噪声带宽。 输出噪声的平均功率为：得,下图分别为低通系统（左图）和高通系统（右图）的等效噪声带宽,2.4.2 白噪声通过理想低通系统,理想的低通系统的幅频响应为：理想低通系统,白噪声通过系统输出的功率谱密度和自相关函数为： 此时，系统的等效噪声带宽为：结论：当 时 ，即白噪声通过理想低通系统后，输出在间隔上抽样得到的各个样本之间是互不

7、相关的。,2.4.3 白噪声通过理想带通系统,理想的带通系统的幅频响应为：理想带通系统,白噪声通过系统输出的功率谱密度和自相关函数为： 此时，系统的等效噪声带宽为：,2.4.4 白噪声通过具有高斯频率特性的带通系统,由多级单调谐中频放大器级联构成的系统，其幅频特性近似具有高斯特性；一个具有高斯频率特性的带通系统，系统的幅频响应为：,白噪声通过该系统，输出的功率谱密度函数为：如果将其看作是基带信号经过上变频后的带通信号，即：此时输出的自相关函数：,利用傅立叶变换对 和 ，上式变为：此时，系统的等效噪声带宽为：,2.5 白噪声序列和平稳随机序列的参数模型,2.5.1 自回归模型（AR） 2.5.2 滑动平均模型（MA） 2.5.3 自回归滑动平均模型（ARMA） 2.5.4 三种模型间的联系,白噪声序列是具有如下统计特性的零均值广义平稳随机序列：线性时不变系统的传递函数通常用一个有限阶数的有理函数来近似表示，相应地，系统的输出序列也就可以用有限个参数来描述，该有理函数称为平稳随机序列的参数模型。,有限阶数的离散线性时不变系统：其中， ，其他参数由输出序列的二阶统计特性（自 相关函数或功率谱

8、密度）决定。写成Z变换的形式： 其中 分别为系统的极点和零点，为保证系统的因果稳定性，这里要求 。,如果系数不全为零，且 时，此时系统既存 在零点也存在极点。当白噪声序列激励上述系统后，系统输出与输入之间 的关系可由如下差分方程表示：,2.5.1 自回归模型（AR）,当系数 均为零且 时，系统为全极点系 统，其传输函数和冲激响应分别为： 此时系统输出：称为平稳随机序列 的 阶AR模型，记为,系统输出的功率谱密度函数和自相关函数可表示为：,2.5.2 滑动平均模型（MA）,当系数 均为零且 时，系统为全零点系 统，其传输函数和冲激响应分别为： 此时系统输出：称为平稳随机序列 的 阶MA模型，记为,系统输出的功率谱密度函数和自相关函数可表示为：,2.5.3 自回归滑动平均模型（ARMA）,当系数 不全为零且 时，系统为零极点系统，其传输函数和冲激响应分别为：,此时系统输出：称为平稳随机序列 的 阶自回归 阶滑动平均模型，记为 系统输出的功率谱密度函数和自相关函数分别为：,2.5.4 三种模型间的联系,AR模型和MA模型是ARMA模型分别在不同条件下的特例，除此之外，这三种模型之间还可以相互等价。结论：一个可逆的有限阶MA模型或ARMA模型可以等价于一个无穷阶的AR模型；一个稳定的有限阶AR模型或ARMA模型也可以等价于一个无穷阶的MA模型。,2.6 随机信号通过线性时变系统,线性时变系统输出与输入之间的关系：其中 为时变系统的冲激响应， 表示系统输入端出现 冲激的时刻， 表示响应出现的时刻。当该系统为因果系统 时，有 。,举例：分析冲激响应为 的幅度调制系统 的一、二阶统计特性。系统输出： 于是：,

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