13.4-最短路径问题例题与讲解

1、13.4 课题课题学学习习 最短路径最短路径问题问题1最短路径最短路径问题问题(1)求直求直线线异异侧侧的两点与直的两点与直线线上一点所上一点所连线连线段的和最小的段的和最小的问题问题， ，只要只要连连接接这这两点，与直两点，与直线线的交点即的交点即为为所求所求如图所示，点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，在 l 上找一个点C，使 CACB 最短，这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点(2)求直求直线线同同侧侧的两点与直的两点与直线线上一点所上一点所连线连线段的和最小的段的和最小的问题问题， ，只要找到其中一个点关于只要找到其中一个点关于这这条直条直线线的的对对称点，称点，连连接接对对称点与另一个点，称点与另一个点，则则与与该该直直线线的交点即的交点即为为所求所求如图所示，点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，在 l 上找一个点C，使 CACB 最短，这时先作点 B 关于直线 l 的对称点 B，则点 C是直线 l 与AB的交点为了证明点 C 的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点 C，连接 AC，BC，BC，证明 ACCBACCB.如下：证明：由作图可知，点 B 和

2、B关于直线 l 对称，所以直线 l 是线段 BB的垂直平分线因为点 C 与 C在直线 l 上，所以 BCBC，BCBC.在ABC中，ABACBC，所以 ACBCACBC，所以 ACBCACCB.【例 1】 在图中直线 l 上找到一点 M，使它到 A，B 两点的距离和最小分析：分析：先确定其中一个点关于直线 l 的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线 l 的交点 M 即为所求的点解：解：如图所示：(1)作点 B 关于直线 l 的对称点 B；(2)连接 AB交直线 l 于点 M.(3)则点 M 即为所求的点点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.2.运用运用轴对轴对称解决距离最短称解决距离最短问题问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同警警误误区区 利用轴对称解决最值问题应注意题目要求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的

3、一种方法解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问3利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题在解决最短路径在解决最短路径问题时问题时，我，我们们通常利用通常利用轴对轴对称、平移等称、平移等变换变换把不把不在一条直在一条直线线上的两条上的两条线线段段转转化到一条直化到一条直线线上，从而作出最短路径的方上，从而作出最短路径的方法来解决法来解决问题问题 【例 2】 如图，小河边有两个村庄 A，B，要在河边建一自来水厂向A 村与 B 村供水(1)若要使厂部到 A，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到 A，B 两村的水管最短，应建在什么地方？分析

4、：分析：(1)到 A，B 两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作 AB 的垂直平分线，与 EF 的交点即为符合条件的点(2)要使厂部到 A 村、B 村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作 A(或 B)点关于 EF 的对称点，连接对称点与 B 点，与EF 的交点即为所求解：解：(1)如图 1，取线段 AB 的中点 G，过中点 G 画 AB 的垂线，交EF 于 P，则 P 到 A，B 的距离相等也可分别以 A、B 为圆心，以大于AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与 EF 的交点 P12即为所求(2)如图 2，画出点 A 关于河岸 EF 的对称点 A，连接 AB 交 EF于 P，则 P 到 A，B 的距离和最短【例 3】 如图，从 A 地到 B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从 A 地到 B地的路程最短？思路导引：从 A 到 B 要走的路线是 AMNB，如图所示，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要 AMBN 最短即可此时两线段应在同一平行方向上，平移 MN 到

5、 AC，从 C 到 B 应是余下的路程，连接 BC 的线段即为最短的，此时不难说明点 N 即为建桥位置，MN即为所建的桥解：解：(1)如图 2，过点 A 作 AC 垂直于河岸，且使 AC 等于河宽(2)连接 BC 与河岸的一边交于点 N.(3)过点 N 作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则 MN 为所建的桥的位置4生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AOBOAC 的长所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法【例 4】 (实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图 a 所示两直排(图中的 AO，BO)，AO 桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到 D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图 a 图 b解：解：如图 b.(1)作 C 点关于 OA 的对称点 C1，作 D 点关于 O

6、B 的对称点D1，(2)连接 C1D1，分别交 OA，OB 于 P，Q，那么小明沿CPQD 的路线行走，所走的总路程最短5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值破疑点 解决距离的最值问题的关键 运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法【例 5】 如图所示，A，B 两点在直线 l 的两侧，在 l 上找一点 C，使点 C 到点 A、B 的距离之差最大分析：分析：此题的突破点是作点 A(或 B)关于直线 l 的对称点 A(或 B)，作直线 AB(AB)与直线 l 交于点 C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决解：解：如图所示，以直线 l 为对称轴，作点 A 关于直线 l 的对称点A，AB 的连线交 l 于点 C，则点 C 即为所求理由：在直线 l 上任找一点 C(异于点 C)，连接 CA，CA，CA，CB.因为点 A，A关于直线 l 对称，所以 l 为线段 AA的垂直平分线，则有 CACA，所以CACBCACBAB.又因为点 C在 l 上，所以 CACA.在ABC中，CACBCACBAB，所以 CACBCACB.点拨：根据轴对轴对称的性称的性质质、利用三角形的三、利用三角形的三边边关系关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法

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