《线性代数与概率统计》之线性代数

1、线性代数与概率统计 之 线性代数 （主讲：杨志军 副教授）,线性代数是从线性方程组论、行列式论和矩阵论中产生的，它是近世代数的一个分支。,近世代数是由两个不得志的青年所创建的，一个叫阿贝尔，一个叫伽罗瓦。,阿贝尔的一生是不幸的。他在当时所写的数学论文都没有得到老一辈数学家们的重视。如：他曾五次将一篇“五次方程不能由公式给出其解”的论文寄给在格廷根的高斯，但都没有得到回音。由于他的不断出外求学，致使经济状况十分糟糕，最后只得回到自己的故乡挪威。没过多久，他就在忧郁中结束了自己年仅27岁的短暂生命。就在他死后的第三天，他的朋友通知他，他已被柏林大学聘请为数学教授。,序 言,伽罗瓦的一生充满忧伤和苦恼，景况比阿贝尔还要差。他在事业上不断受挫，他上交给科学院的论文，没有得到当时时任科学院院长的数学家柯西的及时评价，最后连手稿都丢失。最后一次甚至得到数学家泊松的草率的评语“一个不可理解的”。他于21岁在一次决斗中死去。,序 言,后人在整理和总结他们的论文中，建立了近世代数。线性代数作为近世代数这个主干上的一个重要分支，其发展是顺理成章的，并不象有的科学的发展具有传奇色彩。例如：拓扑学是人们在讨论

2、七桥问题这个游戏中产生的；解析几何据说是笛卡尔在一个梦中发现的；而概率论是源于赌博场。,线性代数是在十九世纪首先由英国的犹太人西尔维斯特和凯来开始研究的，后来由美国的皮尔斯父子和狄克生等人发扬光大。线性代数虽然是近世代数的一个分支，但在代数的各个领域中就其应用的广泛性而言是第一的，尤其是在工程技术方面已成为不可缺少的工具。下面我们就开始线性代数的学习。,序 言,1.1矩阵的基本概念,例 某电视机厂生产三种型号的35厘米(14英寸)彩电TC-1、TC-2、TC-3,它们的主要零部件是:S1(显像管)、S2(电路板)、S3(扬声器)、S4(机壳)，而这些零部件的主要原材料为：M1(铜)、M2(玻璃)、M3 (塑料)。生产不同型号的彩电所需零部件的数量以及生产不同的零部件所需原材料的数量在下列两表中给出:,4行3列,3行4列,第一章 矩 阵(Matrix),基于上述这种数据成行成列排布的现象，1850年犹太人西尔维斯特(Sylvester，18141897）首次提出了“矩阵”这个词。,一、矩阵的定义,指的是mn个数 ，排列成的m 行n 列(横称行，纵称列)的矩形阵列（表），我们称之为维是 m

3、n 的矩阵，简称为 mn 矩阵，简记为 。其表示形式（通式）为：,注：这里是用方括号把一组数括起来；同时有两个下标，这不同于级数的单下标。,1.1矩阵的基本概念,一、矩阵的定义,其中,横向排列的 , , 是的 第i 行；纵向排列的 ， ， 是 的第j 列。因此 位于 的第i 行j 列，称之为矩阵的(i,j )-元。另外，为了书写的方便，常常在不致于引起混淆的情况下，用大写黑斜体字母A、B、C 或A1、A2、A3 等表示，即A=,从上面的定义，我们可以看出：要确定一个矩阵，我们必须知道它的维（mn）和每一个矩阵元（ ）。,矩阵A的维为：33,矩阵A的每一个元分别为：a11=1； a12=16； a13=31；,a21=2； a22=12； a23=24；,a31=3； a32=11； a33=27。,二、矩阵的要素,课堂作业：试写出一个54维的矩阵A，其中矩阵元满足公式aij=2i-j。,注意观察数据通元的表达式，养成善于观察的好习惯。显然行之间是公差为2的等差数列；列之间是公差为-1的等差数列。,下面给出一个注 意观察的例子， 看看有无规律。,例：请每位同学在0到9这十个基本数字中任选

4、一个，先用你选的这个数加上1，再乘以3，再乘以3，然后将所得的结果进行“横加”（如：25“横加”即为2+5=7），再将横加后所得的结果乘以70，再加上36。大家得出的结果是多少？,是不是都是666？为什么？,答：因为110这十个数乘以9再“横加”后都是9。,例1 某县有三个乡镇,县里决定建立一个有线电视网。通过勘察测算，获得一组有关建设费用的预算数据：,我们也可以用矩阵的形式给出有关建设费用的预算数据：,三、实际问题的矩阵表达,典故：战国时期，齐国国王有一天与他的一员大将田忌进行赌马，他决定给田忌上、中、下三个等级的赛马各一匹，自己也拿上、中、下三个等级的赛马各一匹。已知同级别（均为上或中或下）的赛马参加比赛，齐王获胜，但是不同级别的赛马比赛，高等级的赛马一定赢低等级的赛马（如田忌的上等马一定胜齐王的中、下等马；田忌的中等马一定胜齐王的下等马）。每次比赛败者付给胜者100金。结果是齐王每次都输给田忌100金。下面我们来求齐王的赢得矩阵。,例2 （田忌赛马问题，即对策论或竞赛论问题）,解：对于田忌和齐王而言，各有三匹马，因此他们布阵的方式均各有6（P33）种可能，即（上、中、下），（中、

5、下、上），（中、上、下），（上、下、中），（下、上、中），（下、中、上）。 共六种。那么齐王的赢得矩阵应为：（66 维的矩阵）,根据上面的矩阵，事实上田忌和齐王获胜的可能性是完全相同，那么齐王为什么每次都会输100金呢？关键就是齐王先公布排阵方式，而田忌就采用上述矩阵元为-1的方式与齐王比赛。,两位素久未曾联络的朋友甲和乙在一栋高楼前相遇，一阵寒暄后，甲对乙说：“我有三个儿子，三个儿子年龄的乘积为36，你能不能猜出他们的年龄？”，乙说“不能”；甲又说：“我三个儿子年龄的和等于这栋高楼的窗户总数，现在你能不能说出他们的年龄各是多少？”，乙说“不能”；甲再说：“我的大儿子比二儿子大几岁，现在你能不能说出他们的年龄各是多少？”，乙说：“能”，并且马上准确地说出了他们的年龄。请问：甲的三个儿子的年龄分别为多少岁？,例3 归纳推理性问题,解：显然根据题意只有一个已知数字条件，故通过常规的方程组无法求解，而必须借助题中说话者话语间的逻辑进行推理。故首先是对36进行分解，并列出所有可能的三个数相乘情况，于是就可以得到一个列数为3的矩阵（不妨假设按儿子大小的顺序排列）：,和,38,21,16,14,1

6、3,13,11,10,求出所有可能性的和列在右边。,虽然我们并不知道高楼的窗户数，但乙是知道的，因此如果窗户数为38、21、16、14、11、10，那么甲无须说第三句话，乙就可以说出甲三个儿子的年龄。但事实是乙无法说出，说明他们甲的三个儿子年龄和为13。,再根据“大儿子比二儿子大几岁”，可知甲的三个儿子年龄分别为9、2、2岁。,设a省的两个城市a1、a2与b省的三个城市b1、b2、b3间的交通网络图如下，图中每条线上的数字表示两个城市间的不同通路总数，请用矩阵表示它们之间的通路信息。,a2,a1,b1,b2,b3,4,1,3,2,2,课堂作业：（城市间通路问题）,1、n阶方阵(n阶矩阵)：,指的是行、列相等且均为n的矩阵。,2、行矩阵（m=1）与列矩阵（n=1）：,a11 a12 a1n行矩阵，又称行向量，用小写黑体字母aT、bT等表示。,列矩阵，又称列向量，用小写黑体a、b等表示。,就向量而言，其中的每一个元称为分量，分量的个数称维，所以它是n维（行或列）向量。而矩阵的维应为1n或n1。,四、一些特殊的矩阵,3、对角矩阵：,指的是aij=0（ij）的矩阵。,亦可简记为：A=diag(

7、12,3,4)；B= diag(0,0,0),4、上三角矩阵：,指的是aij=0（ij）的矩阵，简称U或R (Upper triangular matrix, Right)。,5、下三角矩阵：,指的是aij=0（ij）的矩阵，简称（Lower triangular matrix, Left）,、标量矩阵：,指的是aij=0（ij），ai=aj=（常量）的阶对角阵。,7、单位矩阵：,指的是的标量矩阵，记为或。,五、矩阵的对角线,前面一直在谈以ai为分界来表示一些特殊的矩阵，但我们一直在回避ai本身是什么的问题。,定义：对于一个维为的矩阵，记minm,n，称元a11,a22,akk构成的(主)对角线，并称aii为的第个对角线元。 注：这里没有强调矩阵一定是方阵，即不一定等。,1.2 矩阵的基本运算,一、矩阵的相等,二、矩阵的和,三、矩阵的数乘,四、矩阵的乘法,五、单位矩阵与0矩阵,六、方阵的幂及方阵的多项式,七、矩阵的转置,主要内容,一、矩阵的相等,定义 设A=aijmn与B=bijpq是两个矩阵，若它们满足(1)m = p 且n = q；(2)aij=bij，其中i=1,2,m；j=1,

8、2,n。则称A与B相等，记为A=B。,即： A 与B 两个矩阵的维和相对应的元均一一对应相等。,定义 设A=aijmn ，B=bijmn ，令C= aij+ bijmn , 称矩阵C为矩阵A与矩阵B的和，记为C=A+B 。,注：这里一定要求矩阵A与矩阵B的维是相同的。,二、矩阵的和,三、矩阵的数乘,定义 设 是矩阵，k是数，令 称矩阵B为数k与矩阵A的数量积，记为B = k A。 称 为A的负矩阵(即k = -1），记为-A 。 规定： ，称为A与B的差。,课堂作业,设A = ，B = 计算2A-B 矩阵。,2A-B =,=,-,*矩阵加法和数乘的运算规律*,（1） （5）（2） （6）（3） （7）（4） （8）其中A、B、0表示矩阵，a、b表示数。,a（A+B）=aA+a B,（a+b）A=aA+bA,a（ bA ）=（ab）A,A+B=B+A,（A + B）+ C = A +（B + C）,A +（-A）= 0,1A = A,A + 0 = A,例 设A= ，B= ， 且A+2X=B，求矩阵X。,解：利用矩阵加法及数乘有关的运算规律，由A+2X=B，可以得到X=(B-A)/2= =,课堂作业,设A= ，B= 求：（1）3A-B；（2）2A+3B；（3）若X满足（2A-X）+2（B-X）=0，求X。,四、矩阵的乘法,例 已知平面直角坐标系 Oxy，把它逆时针绕原点O旋转角，得到另一直角坐标系 ，相应的坐标变换公式为：,Y P Y X X,对坐标系 绕原点O 再逆时针旋转角 ，得又一坐标系 ，相应的坐标变换公式为：,坐标变换,设P点在 中的坐标为 ，在 中的坐标为 ，在 中的坐标为 ，则,把 变换为 ，称,为 的系数矩阵。,同理， 把 变换为 ，称,为 的系数矩阵。,系数矩阵,连续施行 ， ，可把（X，Y）变换为 ，对应变换记为 ，即相当于将坐标旋转+角，于是得：,利用三角函数的和差化积公式及系数矩阵得：,的系数矩阵为,系数矩阵,在解析几何及代数学中，称变换 为变换 与 的乘积，记为 。对等地，自然把 的系数矩阵 也记为 ，即,

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