复习-第三章方程求根
42页1、第三章 非线性方程的数值解法,3.1 引言在科学研究和工程设计中, 经常会遇到的一大类问题是非线性方程f(x)=0 (2.1) 的求根问题,其中f(x)为非线性函数。 方程f(x)=0的根, 亦称为函数f(x)的零点 如果f(x)可以分解成 ,其中m为正整数且 ,则称x*是f(x)的m重零点,或称方程f(x)=0的m重根。当m=1时称x*为单根。若f(x)存在m阶导数,则是方程f(x)的m重根(m1) 当且仅当,记笔记,当f(x)不是x的线性函数时,称对应的函数方程为非线性方程。如果f(x)是多项式函数,则称为代数方程,否则称为超越方程(三角方程,指数、对数方程等)。一般称n次多项式构成的方程,为n次代数方程,当n1时,方程显然是非线性的一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程,很难甚至无法求得精确解。本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法,3.1.1确定有根区间的方法,为了确定根的初值,首先必须圈定根所在的范围,称为圈定根或根的隔离。在上述基础上,采取适当的数值方法确定具有一定精度要求的初值。对于代数方程,其根的个数(实或复的)与其次数相同。至于超越方程,其根可能是一
2、个、几个或无 解,并没有什么固定的圈根方法求方程根的问题,就几何上讲,是求曲线 y=f (x)与x轴交点的横坐标。,由高等数学知识知, 设f (x)为区间a,b上的单值连续, 如果f (a)f (b)0 , 则a,b中至少有一个实根。如果f (x)在a,b上还是单调地递增或递减,则仅有一个实根。,记笔记,由此可大体确定根所在子区间,方法有:(1) 画图法(2) 逐步搜索法,y=f(x),a,b,y,x,(1) 画图法,画出y = f (x)的略图,从而看出曲线与x轴交点的 大致位置。也可将f (x) = 0分解为1(x)= 2(x)的形式,1(x)与 2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。例如 xlogx-1= 0可以改写为logx=1/x画出对数曲线y=logx,与双曲线y= 1/x,它们交点的横坐标位于区间2,3内,(1) 画图法,0,2,3,y,x,A,B,(2) 逐步搜索法,(2) 搜索法,对于给定的f (x),设有根区间为A,B,从x0=A出发,以步长h=(B-A)/n(n是正整数),在A,B内取定节点:xi=x0ih (i=0,1,2,n),从左至右检查f (
3、xi)的符号,如发现xi与端点xi-1的函数值异号,则得到一个缩小的有根子区间xi-1,xi。,例1 方程f(x)=x3-x-1=0 确定其有根区间 解:用试凑的方法,不难发现f(0)0在区间(0,2)内至少有一个实根设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的搜索,列表如下,x,f(x),0 0.5 1.0 1.5 2, + +,可以看出,在1.0,1.5内必有一根,3.2 二分法,二分法又称二分区间法,是求解方程(2.1)的近似根的一种常用的简单方法。设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)f(b)0,根据连续函数的性质可知, f(x)= 0在 (a,b)内必有实根,称区间a,b为有根区间。为明确起见,假定方程f(x)=0在区间a,b内有惟一实根x*。二分法的基本思想是: 首先确定有根区间,将区间二等分, 通过判断f(x)的符号, 逐步将有根区间缩小, 直至有根区间足够地小, 便可求出满足精度要求的近似根。, 取有根区间a,b之中点, 将它分为两半,分点,这样就可缩小有根区间,二分法求根过程,设方程f(x)=0在区间a,b内有根,二分法就是逐步收缩有根区间,最后得出所求的根
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