概率习题课第三章
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1、概率统计,习题课 三,一、填空题,设,则,解,因为,所以,又因为,故,已知 的分布律为,且 与 独立 ,则,解,因为 与 独立 ,所以,即,联立,得到,二、选择题,已知 相互独立 , 且分布律为,那么下列结论正确的是_.,以上都不正确,解,因为 相互独立 ,所以,故,设离散型随机变量 的联合分布律为,且 相互独立 ,则_.,解,所以,即,因为 相互独立 ,又因为,故,解得,或者,设,那么,的联合分布为_.,二维正态分布,且,二维正态分布,且 不定,未必是二维正态分布,以上都不对,当 相互独立时 , 则 的联 合分布为 .,三、解答题,1. 把一枚均匀硬币抛掷三次,设X为三次抛掷中正面出现的次数, 而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值, 求 (X ,Y) 的分布律与边缘分布 .,( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3),PX=0, Y=3,PX=1, Y=1,PX=2, Y=1,PX=3, Y=0,=3/8,=3/8,解,PX=0=,PX=1=,PX=2=,PX=3=,PY=1=,PY=3=,=1/8,PX=0, Y=1+PX=0,
2、 Y=3,=3/8,PX=1, Y=1+PX=1, Y=3,=3/8,PX=2, Y=1+PX=2, Y=3,PX=3, Y=1+PX=3, Y=3,=1/8.,=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.,(X ,Y) 关于 X 的边缘分布,(X ,Y) 关于 Y 的边缘分布,设二维连续型随机变量 的联合分布函数为,求 的值 ,求 的联合密度 ,判断 的独立性 .,解,由,得到,解得,可见,故 相互独立 .,的联合密度为,可见,故 相互独立 .,设 相互独立且服从 ,求方程,有实根的概率 ,并求当 时这,概率的极限.,解,相互独立且服从 ,所以,的联合密度为,方程 有实根的概率为,当 时,当 时,因而,可见,4. 设(X,Y)的概率密度是,求 (1) A的值 (2) (X,Y)的分布函数 (3) 两个边缘密度.,A =24.,解 (1),故,积分区域,区域,解 (2),当 时,暂时固定,当 时,当 时,当 时,当 时,当 时,当 时,综上,解,(3),当 时,当 时,暂时固定,注意取值范围,综上 ,当 时,解 (2),综上 ,注意取值范围,5. 设 (X,Y ) 的概率密度是,(1) X 与Y 是否相互独立?,(2) 求,(3) 求 概率密度.,解,(1),因为,所以 X 与Y 不独立 .,(2),当 时,故,暂时固定,当 时,故,暂时固定,(3),Z=X+Y 的密度函数为,暂时固定,当 时,当 时,当 时,四、证明题,在区间 0,1上随机地投掷两点,试证这两点间的距,离的密度函数为,证明,设这两个随机点分别为 X , Y ,则有,于是 X , Y 的概率密度,分别为,所以 X , Y 的联合密度为,因为 X , Y 相互独立 ,这两个随机点 X , Y 的距离为 .,Z 的分布函数为,暂时固定,当 时,当 时,当 时,当 时,当 时,综上,
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