电网络分析理论第四章网络的代数方程（1）精编版

1、第四章 网络的代数方程 （线性时不变电路）,线性时不变电路的一般分析方法。,选变量列方程、联立求解。,本章重点,节点分析法（改进的节点法）、回路分析法、割集法、稀疏列表法、混合分析法、端口分析法、撕裂法、约束网络法。,元件约束的矩阵形式,前一章介绍了结构约束（KCL，KVL），要分析求解电路（网络），还需要元件约束，先来解决这个问题）,4-14-2 支路VAR的矩阵形式,1.复合支路（不含受控源）,由上式解出 ，有,写成矩阵,写成矩阵,此时，U、I 均为bx1列向量。Z、Y均为b x b对称矩阵。若无耦合电感则为对角阵，分别称为支路阻抗和支路导纳阵。,2.复合支路（含受控源）P149,受另一支路的电压或电流控制，均可化转化成受同一支路的元件电压或电流控制。,受另一支路的电压或电流控制，均可化转化成受同一支路的元件电压或电流控制。,写出该支路的电压和电流关系：,把上式写成矩阵形式，有,设受控源的各控制量均为各支路的元件电压或电流（均可化为这种形式）则,元件上的电压和电流关系为,无互感对角，有互感对称,元件上的电压和电流关系为,代入上式得,由上式得,称为流控型支路方程 为支路阻抗矩阵,称为

2、压控型支路方程 为支路导纳矩阵,由 得,由 得,支路方向与标准支路相同者为+号，相反为-号，没有为0。,无受控源 无受控源,非线性电阻电路,复合支路的形式与线性电路复合支路的结构相同 。,第k条支路,3.非线性电阻电路支路方程的矩阵形式 （p152请自己看）,除独立电压源外,所有元件都是压控,则压控型支路方程为,除独立电流源外,所有元件都是流控,则流控型支路方程为,一般形式为,4-34-7电路代数方程的矩阵形式,1稀疏列表法邱P353-15-7,个变量方程,支路方程,把上述方程组合起来，得,b个方程,b个方程,这种方法，每个元件为一条支路，对元件和支路无限制（列方程非常简单！）它的适应性很强，而且方程易于建立，如同填写表格一样，所以叫做列表法。,列表法的缺点是方程多，规模大，但其矩阵中零元素所占比例很大，稀疏矩阵技术的发展已使这一缺点变得微不足道了。,例如对支路方程,对电阻或电感支路,对VCVS支路,对电导或电容支路,对VCCS支路,当电路中电感间有耦合时，设为k，j支路,可见方程的建立非常灵活方便。稀疏列表法常用于大型的电路分析软件。,2.混合分析法,顾名思义，就是类似于混合参数的形

3、式列出方程，待求量或未知量均既有电压又有电流。,基本思想：以树支(元件)电压和连支（元件）电流为网络求解变量建立方程进行分析计算 。,（1）目的：让受控源和独立源都以其最自然的形式出现。,VCCS,VCVS ,CCCS ,CCVS ,理想电压源或理想电流源（无伴电压、电流源）均可。,（2）取支路的方法：独立源可以与Ze，Ye组合，而受控源单独作为一条支路,单列一条支路,（3）选树原则,树支：控制电压支路，无伴（理想）电流源，受控电流源支路；,连支：控制电流支路，无伴（理想）电压源，受控电压源支路；,电阻、电感和电容既可以是树支也可以是连支。,该方法要求这种树存在!！,（4）建立混合分析法矩阵方程,1）以树支电压Ute，连支电流Ile为独立变量对除去独立源的网络列H参矩阵方程,很方便地处理各种受控源和无伴独立源。,4）把2)，3)代入1)中整理得,这就是混合分析法矩阵方程。由该式解出的是树支的元件电压和连支的元件电流。,或写成P158的形式（直接生成？！）,5）注意事项,受控源参向与复合支路一致为正、反为负、无为零。,Is、Us与复合支路一致为正，反为负，无为零；,Is、Us的顺序与Qf

4、 ，Bf 支路的列写顺序一致；,规则（细化） VCCS 的控制支路和受控支路(源)均应选作树支 CCCS 的控制支路应为连支,受控支路(源)为树支 VCVS 的控制支路应为树支,受控支路(源)为连支 CCVS的两条支路均应选作连支,理想变压器和负阻抗变换器的两条支路分属连支和树支。 回转器的两条支路均为连支或均为树支。 电阻、电感、电容可以选作树支,也可以选作连支。 开路线只能选作树支,短路线只能选作连支。,混合分析法失效,当网络中存在较多的多口元件时,有可能无法选出一个能同时满足上述要求的树。,例4-1 列出图示电路的混合分析法矩阵方程,解（1）图、选树；,(2）建立除去独立源的H参数阵,(3）写出Bf，Qf(方法一),(3）写出Bf，Qf（方法二）,(4）写出Us、Is,(5）写出Bf Us ，Qf Is ：,(6）写出Ql +H12 ， Bt H21,如果找到满足特定要求的树，该方法较简单。,例 写出图(a)所示电路的混合参数方程。,(a),解 选择的树如图(b)中的实线所示。,所以,则,将以上结果代入式(4-4-5),得,3 节点法,节点法是应用最广泛的一种系统化、规范化的方法

5、。因为在计算机上找节点最容易；在工程实际中（如电力系统中）独立节点数（n-1）往往少于独立回路数（l=b-n+1）。,（1）传统节点法,可以直接处理VCCS，间接处理CCCS，而对无伴电压源(含受控电压源)，较难处理。下面简单复习一下节点法。,元件方程（关系或约束）为(支路电流的矩阵方程),1)方程,设网络的节支关联矩阵为A,Y为支路导纳阵,设网络的所有支路均为压控型，则,由KCL A i =0,由KVL,节点导纳阵,得节点电压方程,由此求得支路电压和电流,节点电激流列向量,节点导纳阵,节点电激流列向量,其生成方法与大本相同,2)含受控源（CS）的处理方法,的物理意义,以Un为变量的(n-1)个独立KCL方程,先按独立源处理，然后把受控源的控制量用节点电压表出，再移项处理。当然支路导纳阵Y也可取一般形式，但较繁琐。支路导纳阵和节点导纳阵一般不再对称。,3）含互感支路,非线性电阻电路方程的矩阵形式,非线性电阻电路的方程的基本形式,(1),KVL,一般形式,标准形式,节点电压方程的矩阵形式,(2)回路电流方程的矩阵形式为,相应的增量回路电阻矩阵为,(3) 割集电压方程的矩阵形式,相应的增量

6、割集电导矩阵为,相应的增量节点电导矩阵为,Jump,例4-2 含互感支路的处理方法,同名端流入,异名端流入,例4-3 列出图示的电路的节点电压方程。,解：不含受控源含互感。,选为参考节点，支路编号如图,写出关联矩阵A，Us，Is,处理互感支路求出支路阻抗阵,处理互感支路求出支路阻抗阵,求出支路导纳阵,Y=Z-1,或直接生成支路导纳阵,Y=Z-1,其中,gkj,例4-4 列出图示电路的节点电压方程。,解：分析：既含受控源又含互感。,先画出典型支路确定标准，然后处理；注意不同的典型支路最终的结果是相同的。,gkj,其中,-g,节点方程,例4-5 列出图示电路的节点电压方程,解：,分析：有互感无受控源,（1）选5节点为参考点，节点支路编号、画出图,去掉简单,补零,跳过外节点法和网络撕裂算法！,跳过！,（2）外节点方程（实际为节点电压方程的分块解法）,节点法是以电路中的全部节点（对参考节点）电压为待求量的方法。,在很多情况下，关心的只是电路部分节点例如端口的电压特性，则把这些节点称为外节点，其余称为内节点。在很多情况下，只要求出外节点的节点电压即可。,1适用范围,用Ua Ub分别表示外节点和内

7、节点的节点电压列向量。,a）求转移函数等,b）节点方程的降阶解法（手算）。,2外节点方程,节点电压方程为：YnUn=In，设外节点为a，内节点为b。,这就是外节点方程。,解：,例4-6 求图示双T选频网络的转移函数：,选参考节点如图,取和节点为外节点，、节点为内节点，令G=1/R，,（1）列出 YnUn=In,式中电压和电流均为像函数,Yaa,Yba,Yab,Ybb,Ub,Ua,Ib,Ia,（3）节点方程的降阶（类似外节点方程法）,切断支路后，a、d为N1、N2的共有节点，选为外节点。Il，Im一为流入一为流出，N1、N2只有一点相连，可以分别计算。,二式相加消去(切割支路的电流），从而达到降阶和简化计算的目的。,注意事项,（1）切割电路时，切割支路与N1，N2间，N1，N2间应无耦合，有共同的参考节点，切割支路电流应保留，可能的情况下N1、N2应尽量对称。,（2）a，d作为N1、N2的共有节点，作为外节点，Il，Im对N1、N2的a，d节点方向相反。,（3）通过N1、N2的外节点方程相加消去Il，Im 。,（4）根据N1、N2结构的对称性（相似性），简化计算。在确定切割支路时尽量使N

8、1、N2网络对称！,例47用节点方程的降阶解法求图示电路中的各节点电压（电阻均为1）,在曲线处切断ae,bd支路，分成左右两个网络；a，d为N1，N2的共有节点取为外节点，切割支路的电流设为Il，Im。,a d b c,解,（3）方程：设无伴电压源支路有m条，相应的电流列向量为：I=I1Im除去无伴电压源支路（看成断开、 没有或可移去）,节点法是一种有效的方法，特别是对电力系统潮流计算：但节点法不能处理无伴电压源，改进的节点法就是为解决这一问题提出的。,4 改进的节点法（本科方法）（不讲！）,（1）意义：可有效地处理无伴电压源。,（2）方法：把无伴电压源支路的电流作为未知量，同时添加相应 的电路方程。,对应无伴电压源支路,断开无伴电压源支路后的节点电压方程,把关联矩阵A分成两块,设无伴电压源支路共有m条，则增加了m个变量，应增加m个方程。,系统潮流计算中电压越界，就可用该式处理（无功优化）。如果电路中不含受控源，或把受控源暂做独立源处理，改进节点法的方程形式如下。,当电路中含受控源时，要把方程右边的受控源涉及到的电压和电流移至方程的左边，则改进的节点法方程变为,其中，Yn是把无伴电压源

9、除外的节点导 纳阵，H12，H21反映节点与无伴电压源支路的关联性质。,该项通常为零，但当电感中含CCVS，而其控制量又是另一个无伴电压源的电流时，该项不为零。,下面介绍书上P169的方法改进节点法的一般形式,改进节点法,改进节点法,把网络中的元件分成三组，分别对应关联矩阵A的三个子块A1、A2、A3 。,改进节点法的一般形式（核心思想是矩阵的分块）,MNA（Modified nodal approach,把网络中元件分成三组，对应关联矩阵A的三个子块A1、A2、A3 。,1）压控型元件且其电流不是控制量；,2）非压控型元件和电流为控制量的压控型元件；,3）独立电流源；,相应的支路电压电流列向量分别记为U1、I1， U2、I2， U3、I3，,则KCL方程为,则KVL方程为,支路方程为,第一组 压控支路电流非控制量,第二组 非压控支路或电流为控制量的压控支路,第三组 独立电流源（含电压源的等效电流）,第二组支路电压电流关系,则,令：,事实上这些矩阵可直接生成请看下面的例题！,令,这就是线性网络改进节点法的一般形式。其中 ， 为压控支路（非控制量）部分的节点导纳阵。,C、D、W2为第二组电流与节点电压、无伴电压源及元件的关系式。,改进节点法例题,例1列写图示通用阻抗变换器网络的改进节点电压方程。,运放电路模型,Ri ：运算放大器两输入端间的输入电阻。,Ro：运算放大器的输出电阻。,解 网络的有向图如图所示,两个运放的方程写在一个矩阵中为,前四个支路表示两个运算放大器。,两个输入和输出支路的电流都应选为附加变量。,代入,即为所求。,方法2,例2 用改进节点法列写图示电路的改进节点电压方程。(只讲这个例子！),解 图中两个电压源为非压控元件,故应将相应电流作为附加变量。分别对各独立节点列写 KCL 方程,并考虑到各电导的 VAR ,得,相应的附加方程为,将以上诸式写成矩阵形式,得改进节点电压方程为,

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