电网络第六章网络函数与稳定性精编

1、第六章 网络函数与稳定性,6-3信号流图(分析和求解线性方程组的一种方法）(P243),信号流图(SFG-Signal Flow Graph),信号流图表示信号的流动，是由节点和支路组成的加权有向图。,信号流图用于线性网络或系统的分析、求解，它可以完全对应一个线性方程组（系统或网络） 。,信号流图中的每个节点对应着线性方程组的某一常量或变量，加权支路对应相应（方程组）的系数；从而把线性方程组的变量描述为沿支路方向流动的信号（信号流图）；,把线性方程组的代数变换转化为信号流图的变换。因而提供了一种通过对信号流图的观察和约简求解线性方程组的方法。,从简单例子引入信号流图（感性认识）,如果把每个方程的左边的量看成是在相应右端量（输入）作用下的输出，则可画出其信号流图。,给定线性代数方程组,可画出下面的图,注意：只能加到源节点！该支路加到混合节点不成立！,x5、x6、x7节点加入是为了把混合节点改造成输出节点！,优点,对稀疏方程求解不方便；对方程组系数均为数值的并不比其它的求解方法更优越，甚至更复杂!,形象、直观，对符号形式的传递函数（网络函数）较为方便有效。,缺点,基本术语（P243）,（1

2、）输入、输出支路：离开节点xk的支路称为节点xk的输出支路，指向xk的支路称为xk的输入支路。,输入支路说明图,只有输出支路的节点称为源节点。图中只有x1是源节点,既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点。图中除x1外均为混合节点。,输入、输出支路：离开节点xk的支路称为节点xk的输出支路，指向xk的支路称为xk的输入支路。,e,输出支路说明图,只有输入支路的节点称为汇节点（输出节点）,（2）支路增益（传输）：每条支路都有一个权值，称为支路增益或支路传输。,表示信号xk沿箭头方向前进，乘以支路增益Tjk传到xj节点。,（3）源节点（发点）：仅有输出支路的节点，又称为输入节点或发点。,例如：,（4）汇节点（收点）：仅有输入支路的节点，又称为输出节点或收点。既有输入又有输出节点的称为混合节点。由前面的SFG可知源节点和汇节点均可通过添加权值为1的输入、输出支路变为混合节点,输出节点、输入节点、混合节点说明图,（5）有向路（通路）：从任一节点出发沿着支路方向连续穿过各相连支路到达另一节点的路径。节点和支路只通过一次，所有支路与路的方向一致。,（6）前向路（通路）：从源节点到汇节点的有向路。

3、,（7）有向回路：起点与终点相同的有向路，也即所有支路的方向与回路方向一致的一个回路。仅有一条支路构成的回路称为自环。,前向路（通路）说明图,有向回路说明图,（8）路径增益：一条有向路中各支路增益的乘积。用p表示。,前向通路的路径增益说明图,P2bd1,P1ace1,（9）回路增益：有向回路中所有支路的增益乘积。用L表示。,有向回路增益说明图,L2cef,L1dgp,L3h,L4cd,L5gf,（10）非接（切）触回路：若干个有向回路之间没有公共节点的回路，若两个回路不接触时称为不接触二重(阶)回路，n个回路不接触时称为不接触n重（阶）回路。,非接触回路说明图1,d,非接触回路说明图2,共有两个不接触二重（阶）回路： abgh ， cdef。,共有8个回路：ab，cd，ef，gh，aehd，bcgf，keh，kbc。,显然没有不接触三重（阶）以上回路。,（11）非接（切）触回路增益：不接（切）触回路中所有支路的增益之积。,非接触回路增益说明图1,不接触二重回路增益为：eph。,如图1流图的回路（ep）与自环（h）为不接触二重回路,其增益为：eph。如图2流图的回路（ab，gh）, （d

4、c，fe）为不接触二重回路其增益为：abgh，dcfe。,d,非接触回路增益说明图2,不接触二重回路有两对其增益分别为：abgh，dcfe。,如图2流图的回路（ab，gh）, （dc，fe）为不接触二重回路其增益为：abgh，dcfe。,2.信号流图的基本性质P243,齐次性：信号流图中的信号只能沿支路箭头方向传输（单向有效）；支路的作用是处理信号，支路的输出是该支路的输入与支路增益的乘积Y=TX。,可加性：节点的作用是将输入到节点的信号求和，并通过节点的输出支路把信号分配给其它的节点。,上面的分析表明，给定一个线性代数方程组画信号流图，对应的信号流图不唯一，但其解是唯一的。,例6-1画出如下方程组的信号流图,解：,二式是完全相同的方程只是写法不同。,可见（二式）其流图是不同的，但其解相同。等效异构（或等效非同构）。,其对应的信号流图为,这正是左图消去自环后的信号流图。,可见消去自环时，所有输入到有自环节点的支路增益均乘以,这正是信号流图变换中消去自环的变换规则。,解：,4.网络（电路）的信号流图,信号流图与一组线性代数方程组对应，要得到其对应的流图，就要先找到相应的线性代数方程组。下

5、面就来解决这个问题。,（1）分析,信号流图与一组线性方程组对应，前面的分析表明给定一组线性方程组，其解唯一，其信号流图不唯一。,系统化建立网络方程的方法都是选变量、列方程。如支路电流法、回路电流法、节点法（含MNA）、端口分析法、混合分析法和稀疏列表法等等均可建立网络方程。,理论上任何一组独立的网络方程均可以用于画信号流图，只要待求量以输出方程的形式出现在流图中即可。,为简单方便自然希望方程个数尽量少(兼顾其他)。因此下面我们采用与混合分析法类似的方法处理。,方程的独立性：其系数行列式不等于零（det（A）0）；,变量的独立性：对于一个系统或网络同类变量中个数最少的一组变量；,变量的完备性：对于一个系统或网络任何一个待求量都可以用这组变量的组合表出；,对一个有b条支路n个节点的网络（电路），节点电压（树支电压）（n1）个）是一组完备、独立变量，回路电流（连支电流）（bn1）个）是一组完备、独立变量；它们是b维线性空间的两个正交子空间。,目前的一个研究热点小波变换的多尺度分析中的“小波变换” 和“平滑分量” 就是其两个正交子空间，因而可以构成整个线性空间的直和分解，进而构成Mallat金

6、字塔算法。,（2）网络方程的建立方法,经过上述分析，兼顾方程个数较少和便于系统化处理两方面，我们选树支电压和连支电流为变量；且每个元件为一条支路。,1）选树,独立电压源和受控电压源选为树支，压控源的控制量选为树支；,独立电流源和受控电流源选为连支，流控源的控制量选为连支；,如果网络中含动态元件电容选为树支、电感选为连支，电阻既可为树支又可为连支。,2）列方程,把未知的树支电压，用连支电流和其它树支电压表出；把未知的连支电流，用树支电压和其它连支电流表出。,对含未知量的单连支回路，把未知的连支电流，用树支电压表出；,对含未知量的单树支割集，把未知的树支电压，用连支电流表出；,如果网路中的输出量既不是树支电压又不是单连支电流，则把该输出量用树支电压和连支电流表出输出方程。,具体为如下三步,3）受控源的处理,先处理：按1）、2)直接在列方程时化简。,后处理：先把受控源当做独立源处理画出信号流图，然后在信号流图中按受控源的VAR改画。,下面我们通过几道例题，说明从网络做出信号流图的方法步骤。,?先处理简单！,例6-3图示电路中输出量为U2、U4，做出该电路的信号流图。,解：,（1）选黑线为树支

7、、红线为连支,（2）列方程,对C1割集,对C2割集,对l1回路,对l2回路,（3）整理方程：没有受控源要处理，没有需要专门处理的输出。,（4）做出信号流图。,例6-4做出图示电路的信号流图。,解：,（1）选黑线为树支、红线为连支,选U1、 U4、 I2、 I3为未知量（变量）。,对C1割集,对C2割集,对l1回路,对l2回路,其中,（2）列方程,（3）整理方程：消去受控源,（4）做出信号流图,处理方法一,解：,对C1割集,对C2割集,对l1回路,对l2回路,处理方法二,消去（gU1）节点,保证通过该节点的所有前向通路的增益不变！,解：,（1）先假设为零状态，选黑线为树支、红线为连支，则有,其信号流图为,一般电感用并联模型、电容用串联模型， 例如,对非零状态，有：,（2）考虑非零状态，画出相应的复频域等效电路，仍用前树,与零状态方程对比，每方程多了一个等效（激励）输入，如果哪一个为零状态，该项置零。,因此，此时的信号流图，只在零状态信号流图上增加一个输入。,这正是处理非零状态动态网络信号流图的有效方法！,因为原来I1、U2已选为待求量，只需把输入和输出约束加入即可。,此类题解法为：多口网

8、路方程+端接（约束）方程；要注意变量的数目是否足够，输出量是否在流图上。,解：对给定的二端口网络,选,为待求量，列方程。,实际为有端接的二端口网络，添加两个端接约束。,例6-5画出图示电路的信号流图。,其中,5.信号流图的等效化简（约简规则）,（1）合并串联支路,（2）合并并联支路,（3）消去节点：保证所有经过消去节点的有向路增益不变,由Mason公式推得（不讲）,（a）,（4）消去自环：所有输入到有自环节点支路的权除以（1-自环的权）,即通过信号流图的约简求出方程组的解。,例67 求图示信号的传递函数,解：根据信号流图的约简规则求解,消去两个自环,消去自环,由以上两例可看出，流图简化很象电路的串、并联化简，最终变成输入到输出一条支路。对复杂的信号流图就显得很繁，那么能否不化简直接得到从源节点至汇节点的增益呢?可以。这就是下面要介绍的Mason公式。,6.Mason公式（Cramer克莱姆法则按信号流图的重新公式化）,1942年，C.E shannon发现通过做有向图可以把用于求解线性方程组的Cramer法则重新公式化。1953年，Mason首次提出了用于分析线性系统的新方法信号流图

9、，建立了Mason公式（陈P381 ）。,1959年，Coates提出了一种变形的Mason图（称为流图SFGSignal Flow Graph）简化了推导 （陈P381 ）。现在仍有人在研究。本课程只讲Mason流图和Mason公式。,（1）Mason公式,设从源节点到汇节点的传递函数（网路函数）为H。则,k:源节点到汇节点的第k条前向通道的标号。,pk:第k条前向通道的增益（不能有自环，不能重复节点）。,（一阶或一重）回路增益（包括自环）,对所有（一阶或一重）回路增益求和。,对所有不接触m重回路增益求和。,把第k条前向通道的全部节点和支路都拿走后，剩下的子图的。,Mason公式应用的难点,寻找所有（从每一个源节点（输入）到汇节点（输出）前向通道和所有回路。,所有回路一重、二重不接触回路、二重不接触回路,3个回路间有公共节点，没有2重以上回路,(2)对多输入输出SFG（不讲！）,多输入单独作用，分别讨论（叠加定理）,例6-8用信号流图求下列方程组中的,解,其余为零。,无二重以上不接触回路。,（3）信号流图中含有反馈支路的处理,用下面的例子说明,例6-9 确定图示信号流图的传递函数,解：先求无反馈支路的（假设无反馈）,图中共有4个一重回路,是非接触2重回路，,有两条前向通道,移去p1后无回路，,移去p2后只有一个回路，,无非接触3重以上回路。,原书作业：P8:17均可做！,有反馈时,可以采用流图变换与Mason公式相结合的方法，灵活处理。,当有反馈时流图等效为,1 、开环（无反馈支路）,该信号流图的行列式为,前向通路有两条,即,代入Mason公式,得,2、闭环信号流图的增益H为,将开环信号流图的Mason增益公式,代入,闭信号流图的行列式为,得,3、虚设闭环简化计算方法,闭信号流图的行列式为,（原）信号流图的增益为,比直接计算简单了！,Mason公式小结,定义：其中是对所有回路增益求和是对所有不切触的m重回路增益积求和(m2,3,);表示由源点到汇点的第k条前向通路的标号;表示第k条前向通路增益;是把第k条前向通路中的节点全部移去后所得 子图的行列式。,

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