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数学建模资料-运筹学--优化建模

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  • 卖家[上传人]:给****
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    • 1、最优化方法,哈尔滨工业大学尚寿亭,建模原理算法,教材与参考 1 吴祈宗. 运筹学与最优化方法. 北京:机械工业出版社,2003.8 2 薛嘉庆. 最优化原理与方法(修订版). 北京:冶金工业出版社,1992.8 3 解可新,韩立兴,林友联. 最优化方法. 天津:天津大学出版社,1997.1 4 萧树铁,姜启源等. 数学实验,北京:高等教育出版社,1999.7 5 邢文训,谢金星. 现代优化计算方法. 北京:清华大学出版社,1999.8 6 胡运权,运筹学基础及应用(第三版),哈尔滨工业大学 出版社,1998,参考网站,1 全国大学生数学建模竞赛网: http:/ 2 美国:数学及其应用联合会网站:http:/ 3 中国数学建模网站: http:/ 4 “中国电机工程学会杯”全国大学生电工数学建模竞赛网:http:/www.cseem.org/,最优化方法实际问题与建模,1.经典极值问题,例1.车站选址问题一直线铁路经过钢厂A,矿区 B 位于距铁路最近处 C 为20km,A C 相距150km。计划在铁路上设一站 D,在A D之间筑一条直线公路,若矿石运费铁路为3元/kmt,公路为5元/

      2、kmt。问题:D 站选在何处最好。y B(150,20)o x 150 xA D C,建模与求解 建立模型: 设:坐标系 xoy,铁路线在 ox- 轴上,点A 位于坐标原点 o,点B位于(150,20),点C位于(150,0),站D选在 x 处,运费为 f (x)。 模型: (min-minimize) (1)其中: 求解:应用导数求极值令 ,即 (2)由(2),移项后两边开方,解得: (3) 由(2)知 x = 165 为增根( )x = 135 为唯一驻点 答案:站 D 应设在距钢厂 A 135km处。 问题扩展:考虑筑路、建站、装卸等费用,如何建模? 数学建模竞赛题:道路改造项目中碎石运输的设计 相关网站:“中国电机工程学会杯”全国大学生电工数学建模竞赛 http:/www.cseem.org/ 例2. 罐头盒问题 设计圆柱形罐头盒,使用料最省。 假设:1.不考虑折边及铁皮厚度;2.底半径 r,高 h;3.容积为常数V。,建立最优化模型:(4)s.t. - subject to (满足于): 约束条件 令模型(4)可写成 与(1)类似的形式不考虑不等式约束时,模型(4)可用Lag

      3、range乘子法求解,令 求解方程组由 r 0,及(6)解得 ,代入(5)结论:高与直径相等时用料最省。 问题扩展:侧面与底面厚度不同或造价不同,该如何设计?作 业 题:建立易拉罐的优化设计模型。,经典优化问题一般模型:a.无约束问题:其中的 可省去;b.条件极值:最优化问题一般模型:,2.最优化问题实例: 例4. 生产计划问题某工厂有 m 种资源 某一时段的数量 分别为: 可用来生产 n 种产品 每生产一单位 消耗 为 利润为 。如何安排 生产可获最大利润? 设:计划生产 单位 建立线性规划模型 LP(Linear Programming)Max c1x1+ c2x2+ + cnxns. t. a11 x1+ a12x2+ + a1nxnb1am1 x1+ am2x2+ + amnxn bmx1, x2, , xn 0,令 X = x1, x2, , xn T ; c = c1, c2, , cn T ;b = b1, b2, , bn T ; A = aij mxn LP:问题扩展 a. 若 c1, c2, , cn 不是固定的,c 是随机变量, 平均值 ,协方差矩阵 V 。希望利

      4、润期望值最大且方差最小,建立多目标优化模型:,问题扩展 b. 风险投资问题(参考98全国建模赛题)将前面的产品换成投资项目,考虑投资 Aj 风险损失qj 。 建立多目标优化模型:化为多目标线性规划模型:,例5. 数据拟合问题 设某系统中变量 x, y 满足:y = f (x) 已获得系统数据:( xi , yi ) , i = 1, 2 , , m 确定 f (x) 的参数,例如:最优化模型:(最小二乘) 其中决策变量为f (x) 的参数,例6. 指派问题(0-1规划),例7. 旅行商问题-TSP(组合优化) 一商人欲到 n 个城市推销, 城市 i 到城市 j 相距 dij , 求走遍所有城市的最短路。 模型:,计算复杂性概念 n个城市的旅行商问题-TSP,固定一个城市,采用枚举法需(n-1)! 个枚举。 枚举时城市数与计算时间的关系可以看出27个城市时枚举法已很费时,27个以上可采用启发式算法(heuristic algrithm),参见: 5 (邢文训,谢金星. 现代优化计算方法. ) 问题扩展 :多旅行商问题 98全国建模赛题 : B. 灾情巡视路线,2000B题 钢管订购和运输

      5、要铺设一条的输送天然气的主管道, 如图一所示(见下页)。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有。图中粗线表示铁路,单细线表示公路,双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路,或者建有施工公路),圆圈表示火车站,每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。 为方便计,1km主管道钢管称为1单位钢管。 一个钢厂如果承担制造这种钢管,至少需要生产500个单位。钢厂在指定期限内能生产该钢管的最大数量为个单位,钢管出厂销价1单位钢管为万元,如下表:,钢管可由铁路、公路运往铺设地点(不只是运到点,而是管道全线)。 (1)请制定一个主管道钢管的订购和运输计划,使总费用最小(给出总费用)。 (2)请就(1)的模型分析:哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大,哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大,并给出相应的数字结果。 (3)如果要铺设的管道不是一条线,而是一个树形图,铁路、公路和管道构成网络,请就这种更一般的情形给出一种解决办法,并对图二按(1)的要求给出模型和结果。,钢管订购和运输 最优化模型,钢管订购和运输 最优化模型,钢管订购和运输 最优化模型

      6、,1998A题 投资的收益和风险 市场上有n种资产(如股票、债券、)Si ( i=1,n) 供投资者选择,某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估,估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为ri,并预测出购买Si的风险损失率为qi。考虑到投资越分散,总的风险越小,公司确定,当用这笔资金购买若干种资产时,总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量。 购买Si要付交易费,费率为pi,并且当购买额不超过给定值ui时,交易费按购买ui计算(不买当然无须付费)。另外,假定同期银行存款利率是r0, 且既无交易费又无风险。( r0 =5%),Matlab优化工具箱 (Optimization toolbox),attgoal: 求解多目标优化问题.constr: 求解约束非线性优化问题.fmin: 求解标量非线性优化问题.fminu,fmins:求解无约束非线性优化问题.lp: 求解线性规划问题.minmax: 求解最小最大问题.qp: 求解二次规划问题.seminf: 求解半无限问题.conls: 求解线性约束最小二乘最优解.curvefit

      7、: 非线性数据拟合.leastsq: 求解非线性最小二乘最优问题.nnls: 求解非负约束最小二乘最优解,线性规划MATLAB程序,模型:Min Z = cTxS.t. Ax bv1 x v2 X=lp (c,A,b,v1,v2, x0,ne,dis) v1,v2- x 的下,上界 X0 - 初始值 ne - 前 ne 个约束为等式约束 dis - 给出警告信息,如解无界或无可行解 缺省时 用 占据其位置,程序将自动给出,无约束非线性规划MATLAB程序,模型:Min f(x) X=fminu (fun,x0,opt,grad,p1,p2) x, opt=fminu (fun,x0,opt,grad,p1,p2) fun - 建立 fun.m 函数文件 X0 - 初始值 Opt -控制参数 grad-建立 grad .m 函数文件计算梯度 p1,p2-可传递到 fun 和 grad 中公用的参数(最多10个) 缺省时 用 占据其位置,程序将自动给出,约束非线性规划MATLAB程序,模型:Min f(x)S.t. g(x) 0 X=constr (fun,x0,opt,v1,v2,grad,p1,p2) x, opt=constr(fun,x0,opt,v1,v2,grad,p1,p2) fun - 建立 fun.m 函数文件: f,g = fun (x) X0 - 初始值 Opt -控制参数 v1,v2-x的下,上界 grad-建立grad .m 函数文件计算梯度 df,dg = grad (x) p1,p2-可传递到fun和grad中公用的参数(最多10个) 缺省时 用 占据其位置,程序将自动给出,

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