2019届高考数学（文科）五三课件6.4《数列求和、数列的综合应用》

1、6.4 数列求和、数列的综合应用,高考文数 ( 课标专用),1.(2017课标全国,17,12分)设数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n. (1)求an的通项公式; (2)求数列 的前n项和.,A组 统一命题课标卷题组,五年高考,解析 (1)因为a1+3a2+(2n-1)an=2n, 故当n2时,a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1). 两式相减得(2n-1)an=2. 所以an= (n2). 又由题设可得a1=2,从而an的通项公式为an= (nN*). (2)记 的前n项和为Sn.由(1)知 = = - . 则Sn= - + - + - = .,易错警示 (1)要注意n=1时,是否符合所求得的通项公式;(2)裂项相消后,注意留下了哪些项, 避免遗漏.,思路分析 (1)条件a1+3a2+(2n-1)an=2n的实质就是数列(2n-1)an的前n项和,故可利用an与 Sn的关系求解.(2)利用(1)求得的an的通项公式,然后用裂项相消法求和.,2.(2014课标,17,12分,0.507)已知an是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根. (1)求

2、an的通项公式; (2)求数列 的前n项和.,解析 (1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得a2=2,a4=3. 设数列an的公差为d,则a4-a2=2d, 故d= ,从而a1= . 所以an的通项公式为an= n+1. (2)设 的前n项和为Sn,由(1)知 = ,则 Sn= + + + , Sn= + + + . 两式相减得 Sn= + - = + - .所以Sn=2- .,思路分析 (1)解出方程的根,根据数列是递增的得出a2,a4的值,从而解出通项;(2)用错位相减 法求和.,3.(2016课标全国,17,12分)等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6. (1)求an的通项公式; (2)设bn=an,求数列bn的前10项和,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,2.6=2.,解析 (1)设数列an的公差为d, 由题意有 解得 (3分) 所以an的通项公式为an= . (5分) (2)由(1)知,bn= . (6分) 当n=1,2,3时,1 2,bn=1; 当n=4,5时,2 3,bn=2;,当n=6,7,8时,3 4,bn=3; 当n=9,10时,4

3、0,可得q=2,故bn=2n-1.所以,Tn= =2n-1. 设等差数列an的公差为d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4. 由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,故an=n, 所以,Sn= . (2)由(1),有T1+T2+Tn=(21+22+2n)-n= -n=2n+1-n-2. 由Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn可得+2n+1-n-2=n+2n+1, 整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4.所以,n的值为4.,3.(2017北京,15,13分)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5. (1)求an的通项公式; (2)求和:b1+b3+b5+b2n-1.,解析 (1)设等差数列an的公差为d. 因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10. 解得d=2. 所以an=2n-1. (2)设等比数列bn的公比为q. 因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9. 解得q2=3. 所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1. 从而b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1= .,方

4、法总结 求解有关等差数列和等比数列问题的关键是对其基本量(首项,公差,公比)进行求 解.对于数列求和问题,常用的方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法和分组 转化法等.,4.(2016山东,19,12分)已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且an=bn+bn+1. (1)求数列bn的通项公式; (2)令cn= .求数列cn的前n项和Tn.,5.(2016天津,18,13分)已知an是等比数列,前n项和为Sn(nN*),且 - = ,S6=63. (1)求an的通项公式; (2)若对任意的nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列(-1)n 的前2n项和.,解析 (1)设数列an的公比为q.由已知,有 - = ,解得q=2,或q=-1. 又由S6=a1 =63,知q-1,所以a1 =63,得a1=1.所以an=2n-1. (2)由题意,得bn= (log2an+log2an+1)= (log22n-1+log22n)=n- , 即bn是首项为 ,公差为1的等差数列. 设数列(-1)n 的前n项和为Tn,则 T2n=(- + )+(- +

5、 )+(- + ) =b1+b2+b3+b4+b2n-1+b2n= =2n2.,评析 本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和公式等基础知识,考查数列求和的基本 方法和运算求解能力.,6.(2015安徽,18,12分)已知数列an是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8. (1)求数列an的通项公式; (2)设Sn为数列an的前n项和,bn= ,求数列bn的前n项和Tn.,解析 (1)由题设知a1a4=a2a3=8, 又a1+a4=9,可解得 或 (舍去). 由a4=a1q3得公比为q=2,故an=a1qn-1=2n-1. (2)Sn= =2n-1,又bn= = = - , 所以Tn=b1+b2+bn= + + = - =1- .,评析 本题考查等比数列通项公式及等比数列性质,等比数列求和.,考点二 数列的综合应用 1.(2018江苏,14,5分)已知集合A=x|x=2n-1,nN*,B=x|x=2n,nN*.将AB的所有元素从小到 大依次排列构成一个数列an.记Sn为数列an的前n项和,则使得Sn12an+1成立的n的最小值为 .,观察到l=5时,Tl=S2112a39,

6、则n22,38),nN*时,存在n,使Sn12an+1, 此时T5=A1+A2+A16+B1+B2+B3+B4+B5, 则当n22,38),nN*时,Sn=T5+ =n2-10n+87. an+1=An+1-5=An-4, 12an+1=122(n-4)-1=24n-108, Sn-12an+1=n2-34n+195=(n-17)2-94,则n27时,Sn-12an+10,即nmin=27.,2.(2015福建,16,4分)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可 适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于 .,3.(2014安徽,12,5分)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2 .过点A作BC的垂线,垂足为A 1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;,依此类推.设BA=a1,AA1=a2, A1A2=a3,A5A6=a7,则a7= .,4.(2018浙江,20,15分)已知等比数列an的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列 bn满足

7、b1=1,数列(bn+1-bn)an的前n项和为2n2+n. (1)求q的值; (2)求数列bn的通项公式.,解析 本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,同时考查运算求解能力和 综合应用能力. (1)由a4+2是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4, 所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8. 由a3+a5=20得8 =20, 解得q=2或q= , 因为q1,所以q=2. (2)设cn=(bn+1-bn)an,数列cn的前n项和为Sn. 由cn= 解得cn=4n-1. 由(1)可知an=2n-1,所以bn+1-bn=(4n-1) ,故bn-bn-1=(4n-5) ,n2, bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b3-b2)+(b2-b1) =(4n-5) +(4n-9) +7 +3. 设Tn=3+7 +11 +(4n-5) ,n2,Tn=3 +7 +(4n-9) +(4n-5) , 所以 Tn=3+4 +4 +4 -(4n-5) , 因此Tn=14-(4n+3) ,n2, 又b1=1,所以bn=15-(4n+3) .,易错警示 利用

8、错位相减法求和时,要注意以下几点: (1)错位相减法求和,只适合于数列anbn,其中an为等差数列,bn为等比数列. (2)在等式两边所乘的数是等比数列bn的公比. (3)两式相减时,一定要错开一位. (4)相减后等比数列的项数. (5)进行检验.,5.(2017天津,18,13分)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且 公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求an和bn的通项公式; (2)求数列a2nbn的前n项和(nN*).,解析 (1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12, 而b1=2,所以q2+q-6=0. 又因为q0,解得q=2. 所以,bn=2n. 由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8. 由S11=11b4,可得a1+5d=16, 联立, 解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2. 所以,an的通项公式为an=3n-2,bn的通项公式为bn=2n. (2)设数列a2nbn的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,有Tn=42+1022+1623+(6n-2)2n, 2Tn=422+1023+1624+(6n-8)2n+(6n-2)2n+1,方法总结 (1)等差数列与等比数列中分别有五个量,a1,n,d(或q),an,Sn,一般可以“知三求二”, 通过列方程(组)求关键量a1和d(或q),问题可迎刃而解. (2)数列anbn,其中an是公差为d的等差数列,bn是公比q1的等比数列,求anbn的前n项和 应采用错位相减法.,

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