Black-Scholes期权定价模型的数值求解-梅树立庞守林

1、Black-Scholes期权定价模型的数值求解,梅树立,内容简介,期权（Option）基本概念 Black-Scholes期权定价模型 Black-Scholes模型的Matlab求解 小波多尺度数值求解方法,3,选择权,选择权(option)是一种衍生性证券(derivative security)，持有人有权利在未来某一段期间内（或某一特定日期），以约定的价格向卖方买入或卖出一定数量的标的资产(underlying asset)。,4,选择权,选择权依买入或卖出的权利可分为买权(看涨期权，Call Option)及卖权(看降期权，Put Option)两种。 买权赋予持有人买入标的资产之权利。 卖权赋予持有人卖出标的资产之权利。,5,选择权,履约价格 选择权契约中，在未来某一段期间内以约定的价格，买卖某一定数量的标的资产，此约定的价格称为履约价格(Exercise price)或执行价格(Strike price)。,6,选择权,到期日 选择权契约中约定的未来某一特定日期称为到期日(Maturity date; Expiration date)，此某一段期间亦即权证的存续期间。,

2、7,选择权,美式选择权与欧式选择权 选择权可依履约时间的不同，分为美式选择权及欧式选择权。美式选择权(American option)可在到期日前（含）的任何一天履约，向卖方买入或卖出股票或约定的标的资产；而欧式选择权(European option)仅能在到期日当天履约，买入或卖出股票。美式选择权此种提早买入或卖出股票的特性，称为提早履约(early exercise)。,8,选择权,价内、价外及价平选择权 一般习惯上，将选择权的履约价格相对于股价的大小，区分为价内、价外及价平三种选择权。 1. 价内选择权(in-the-money option) 对买权而言，当股价大于履约价格时，称此买权为价内买权。,9,选择权,2. 价外选择权(out-of-the-money option) 对买权而言，当股价小于履约价格时，称为价外买权。 3.价平选择权(at-the-money option) 对买权或卖权而言，当股价等于履约价格时，称为价平选择权。,10,选择权,内含价值与时间价值 选择权的价格或称为权利金(premium)，是指买方所支付或卖方所收到的价款。权利金可分为两部分：内含价值

3、(intrinsic value)与时间价值(time value)。,11,选择权,选择权价值内含价值时间价值 买权(C)的价值可表示如下： Cmax(0, SK)时间价值 卖权(P)的价值可表示如下： Pmax(0, KS)时间价值,12,选择权,买权卖权等价理论 CPSK(1r)-T 对同一标的资产（如同一支股票）、同一履约价格、同一到期日之买权与卖权来说，在某个时点的买权、卖权相对价格（买权减去卖权）应该等于当时股价减去履约价格之折现，否则会有套利的机会。,13,选择权,有股利情况下，欧式的买权卖权等价理论 CPSD(1r)tK(1r)T,14,选择权,没有股利情况下，美式的买权卖权等价理论 SK Ca Pa SK ( 1r)T 有股利情况下，美式买权卖权等价理论 SD(1r)tKCaPa SK (1r)T,15,选择权,影响选择权价格的因素 股价 履约价格 到期日的长短 标的资产价格的波动幅度 无风险利率 股利,16,选择权,17,选择权,18,选择权,19,选择权,内容简介,期权（Option）基本概念 Black-Scholes期权定价模型 Black-Scholes模型

4、的差分法求解 小波多尺度数值求解方法,期权定价（B-S公式）,1973年，芝加哥大学教授Black和MIT教授Scholes在Journal of Political Economy上发表了一篇题为期权定价和公司负债的论文；同年，哈佛大学教授Merton在贝尔管理科学学报上发表了另一篇论文期权的理性定价理论。这两篇论文奠定了期权定价理论基础。,维纳过程(Wiener process),若一个随机过程X(t),t=0满足： (1) X(t)是独立增量过程； (2) 任意s,t0,X(s+t)-X(s)N(0,c2*t)，即X(s+t)-X(s)是期望为0，方差为c2*t的正态分布； (3) X(t)关于t是连续函数。 则称X(t),t=0是维纳过程(Wiener process)或布朗运动。,维纳过程的特点：,（1）它是一个Markov过程。因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息。 （2）维纳过程具有独立增量。该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率。 （3）它在任何有限时间上的变化服从正态分布，其方差随时间区间的长度呈线性增加。 期货定

5、价模型BS模型中，期货价格及其所依赖的标的资产价格都受同一种不确定因素的影响，两者也都是遵循相同的维纳过程。,24,Black-Scholes选择权评价模型,Black-Scholes模型的主要概念 假设有一包含股票及其买权的投资组合，藉由不断调整适当的股票与买权之比率，可使投资组合在短时间内达到无风险的状态。在无套利情形下，该投资组合应赚得无风险报酬。因此得到买权对股价及时间的偏微分方程式，另外再加上到期日买权价值的边界条件，而得到买权公式解。,25,Black-Scholes选择权评价模型,B-S模型中假设股价服从对数常态分配，有时称股价服从几何布朗运动(Geometric Brownian Motion),26,Black-Scholes选择权评价模型,Black-Scholes偏微分方程式,27,Black-Scholes选择权评价模型,Black-Scholes买权价格公式(无配息) CSN(d1)KerT N(d2) 其中，d1 = d2 =,28,Black-Scholes选择权评价模型,C：买权目前理论价值call price S：目前的股价 stock price K

6、：履约价格 strike price r：无风险利率（以年为标准）riskless rate T：到期日之长短（以年为单位）maturity ln：自然对数 logrithm ：股价报酬波动度（以年为标准）volatility N(d1) :为标准正态分布概率密度函数Normal distribution,29,Black-Scholes选择权评价模型,Black-Scholes卖权价格公式(无配息) PKerT N(-d2)SN(-d1) 其中，d1 = d2 =,30,Black-Scholes选择权评价模型,Black-Scholes买权价格公式(配息yield q) CS eqT N(d1)KerT N(d2) 其中，d1 = d2 =,31,Black-Scholes选择权评价模型,Black-Scholes卖权价格公式(配息yield q) PKerT N(-d2)S eqT N(-d1) 其中，d1 = d2 =,32,Black-Scholes选择权评价模型,B-S公式中的N(d1)一般称为避险比率(hedge ratio)或对冲率，或delta。 N(d1) = 其中

7、，C：买权变动的大小 S：股价变动的大小,33,Black-Scholes选择权评价模型,Black-Scholes公式中变数的选取 1.到期期限 一般用年（1年以365天计）来表示，亦即使用与计算利息一致的方式来计算到期期限。 2.无风险利率 无风险利率(risk-free rate)是指没有任何违约风险的资产之收益率，所以政府发行的公债或国库券之利率，均可视为无风险利率。,34,Black-Scholes选择权评价模型,3.股价波动度之估算 (1).历史波动度(historical volatility)， 其公式如下：,35,Black-Scholes选择权评价模型,时间平方根法则 如果我们以日数据来计算波动率，所得到的是每日波动率的估算值，至于延伸为N天期的波动率，则一般都利用时间平方根法则来求取。 估算周波动率，N = 5；估算月波动率，N = 21；估算年波动率，N = 252。,36,Black-Scholes选择权评价模型,移动平均 在以上的历史波动率估计中，我们可以加上窗口的设计，在每一个时间点，我们选取过去个数据为样本，计算其标准偏差当时间往前，则窗口也往前移一个数

8、据点，并且删除最后一个数据,37,Black-Scholes选择权评价模型,(2).隐含波动度(implied volatility) 利用市场上选择权的交易价格，代入B-S 公式反求出报酬的波动度。 国外学者发现同样的股票，由价内选择权 及价外选择权所求出来的隐含波动度常常不一样，通常价内的隐含波动度会高于价 外的隐含波动度，一般称为笑状波幅 (volatility smile)。,38,Black-Scholes选择权评价模型,(3).指数加权移动平均(EWMA) 虽然市场上最近的讯息比远久以前的讯息来的重要，但是移动平均法给所有的数据点权重是一样的。 EWMA的作法是，越近的数据，权重给的越大，因此捕捉了波动群聚的现象。因此与移动平均相比，EWMA对于市场冲击反应较快。,39,Black-Scholes选择权评价模型,EWMA公式 过去的第i天，权重是 。,40,Black-Scholes选择权评价模型,估计Lambda 务实上，RiskMetrics使用以下的优化方法，来求算个别资产最佳的值 min RMSE= s.t.,41,Black-Scholes选择权评价模型,EWMA

9、模型是由JP Morgan于其发展的风险控管系统RiskMetrics中使用。 计算的结果，日数据的最佳的值为0.94，月数据最佳的值为0.97。,42,Black-Scholes选择权评价模型,(4).随机波动度(Stochastic Volatility) GAHCH Model,43,敏感度分析(sensitivity analysis),用来衡量因五个变量发生变动时，选择权价格变化的情况。由于一般习惯上常常用希腊字母(Greek)来表示这些变量变动对选择权价格的影响，因此选择权敏感度分析有时称为选择权Greeks。,44,敏感度分析(sensitivity analysis),买权敏感度 delta() delta是用来衡量选择权标的资产价格变动对选择权价格的影响。,45,敏感度分析(sensitivity analysis),买权敏感度 gamma() gamma是用来衡量delta的敏感度，也就是当股价变动时，避险比率delta变动的情况。,46,敏感度分析(sensitivity analysis),买权敏感度 vega(v) vega或称kappa，是用来衡量标的价格波动度改变对选择权价格的影响，也就是波动度每上升一单位对选择权价格的影响。,47,敏感度分析(sensitivity analysis),买权敏感度 是用来衡量无风险利率变动对选择权价格的影响，或者是说选择权价格对无风险利率变动的敏感度。,48,敏感度分析(sensitivity analysis),买权敏感度 theta() theta是用来衡量到期期限变动对选择权价格的影响。,49,敏感度分析(sensitivity analysis),买权敏感度 履约价格对选择权价格的影响,50,敏感度分析(sensitivity analysis),买权敏感度 lambda() lambda是用来衡量当股价变动1%时，选择权价格变动多少百分比。换句话说，delta是衡量绝对价格的变动，而lambda是衡量相对价格的变动。 即为实际杠杆比率(effective gearing)，而 就是杠杆比率(gearing)。,

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