电网络分析理论第一章网络理论基础（3）精简版

1、1-8 网络图论的基本知识,1 网络(电路)的图（线图Graph）,主要复习:节点、支路、路径、回路、树、割集P43-P47）,众所周知，电路（网络）的约束分成两类，一为元件约束，一为结构约束。,结构约束是电路的连接结构对电网络中的电压和电流的制约关系（KCL，KVL）,它与元件的性质无关。,因此就用抽象的点来代替原来的节点。用线段来代替原来的支路，这样得到的一个由节点和支路组成的图，称为电路的图。,既如此，讨论这部分关系时，就没有必要把元件画出。,下面复习网络图论的一些术语。,图(Graph),图是拓扑（Topology,Topological Graph ）图的简称，是节点和支路的一个集合。,: 未赋以方向的图称为无向图。只有部分支路赋以方向的图称为混合图。所有支路都赋以方向的图称为有向图。图中的方向表示原电路中支路电压和电流的关联参考方向,:图并不反映支路之间的耦合关系。,二端元件的图,三端元件的图,双口元件的图,元件的图,网络的图,网络拓扑,i = 0,连接性质,抽象,抽象,无 向 图,有 向 图,(1)图的基本概念(名词和定义),1） 图,G=支路，节点,是节点和支路的一个集

2、合,2）连通图,如果图G中的任何两个节点之间都至少存在一条路径，则G称为连通图(Connected Graph)，否则称为非连通图。,3）有向图,未赋以方向的图称为无向图。只有部分支路赋以方向的图称为混合图。所有支路都赋以方向的图称为有向图。,由电路中的多口元件造成的非连通图，可以把不连通的各部分中的任一节点(一部分只能取一个节点)之间假设有一条短路线相连。把这些假设短路线连接的节点合并成一个节点，这样所得的图称为铰链图(Hinged Graph)。,铰链图,允许孤立节点存在,4）子图,如果图G1中的每个节点和每条支路都是G图中的一部分，则称G1为G 的子图(Subgraph)。,G,G1,G2,(5)路径（简称路）,从图的某一个节点出发，沿着一些支路连续移动到达另一个节点，这样的一系列支路称为图的一条路径。,一般出发的节点称为始节点，到达的节点称为终节点。,支路和节点只过一次。,(6)回路,1)连通； 2)每个节点关联支路数恰好为2。,回路,不是回路,回路L是连通图G的一个子图。,具有下述性质,(7) 树 (Tree),树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：,1)连通； 2)包含G

3、的所有节点； 3)不包含回路。,树是联接连通图全部节点的最少支路集合。,余树或补树：G中对应树T的余子图称为余树或补树(Cotree).,图中虚线支路为树,1,6,3,4,5,2,1,6,3,4,5,2,1,6,3,4,5,2,树不唯一,树支(Tree Branch or Twig) ：属于树的支路,连支(Chord or Link) ：属于G而不属于T的支路,16个,对于一个选定的树,树支数 bt= n-1,连支数 bl=b-(n-1),单连支回路（基本回路）,树支数 4,连支数 3,（8）割集,与广义节点（闭合面）的概念相关联。是被闭合面所切割的支路集合。,是把一个连通图恰好分成两部分的最少支路集合。因此与节点有关的关系对割集也成立。,1) 把Q 中全部支路移去，将图恰好分成两个分离部分；,2)保留Q 中的一条支路，其余支路都移去， G还是连通的。,Q1 2 , 5 , 4 , 6 ,割集Q是连通图G中的一个支路集合，具有下述性质：,Q4 1 , 5 , 2 ,Q3 1 , 5 , 4,Q2 2 , 3 , 6 ,单树支割集（基本割集）,Q3 1 , 5 ,3 , 6 ,Q2 3

4、, 5 , 4,Q1 2 , 3 , 6 ,Q4 1 , 5 , 2 ,Q3 1 , 5 ,3 , 6 ,单树支割集,独立割集,单树支割集,独立割集,割集概念的解释（续）,三个分离部分,保留4支路，图不连通的。, 1-9图的矩阵表示及其性质,有向图拓扑性质的描述,（1）关联矩阵(Incidence Matrix),（2）回路矩阵(Loop Matrix),（3）割集矩阵(Cutset Matrix),（4）连通图的主要关联矩阵的关系,(1)关联矩阵A,节点支路关联矩阵Aa，有称为全阶点关联矩阵（或增广关联矩阵）。其中行：对应节点；列：对应支路，流出为正，流入为负，无关为零。,Aa中任意去掉一行剩下的行线性无关，去掉行对应的节点就做参考节点（简称参考点）。称为降阶关联矩阵。简称关联矩阵，记为A，（AI=0 对应独立的n-1个独立的KCL方程），A的秩为（N-1），Rank（Aa）=Rank（A）=n-1。,用矩阵形式描述节点和支路的关联性质,aij = 1 有向支路 j 背离 i 节点,aij= -1 有向支路 j 指向 i 节点,aij =0 i节点与 j 支路无关,关联矩阵,Aa=a

5、ijn b,A=aijn b,1 0 0 -1 0 1,-1 -1 0 0 1 0,0 1 1 0 0 -1,0 0 -1 1 -1 0,1 -100,0 -110,001 -1,-1001,010 -1,10 -10,设为参考节点,称A为（降阶）关联矩阵 (n-1)b ，简称关联矩阵；表征独立节点与支路的关联（连接）性质。,(降阶)关联矩阵A,若把Aa中的任一行划去(相当于相应的节点选作参考点)，剩下的(n1)b矩阵足以表征有向图中支路与节点的关联关系，并且(n1)行是线性无关的。这种(n1)b阶矩阵称为降阶(Reduced)关联矩阵，简称关联矩阵 。,关联矩阵A的任何阶方子矩阵A0，det A0为0、1或1。,幺模矩阵(Unimodular Matrix),一个矩阵如果它的每个方子矩阵的行列式值均为1、1或0，则称该矩阵为单模矩阵或幺模矩阵 。,对n个节点的连通图G，G的关联矩阵A的一个(n1)阶子方阵非奇异的充分必要条件是此子方阵的列对应图G的一个树的树支 。,有关 的定理,: 一个树的关联矩阵 是非奇异的，且,:大子矩阵(Major Submatrix),: At为大子矩阵。,

6、一个秩为n的nm矩阵的大子矩阵定义为该矩阵阶数为n的非奇异子矩阵。,树的数目的计算方法,:比内柯西(Binet-Cauchy)定理 设矩阵B为mn阶矩阵，C是nm阶矩阵，且mn，则,det(BC) 的对应大子式的乘积,树的数目的计算方法,结论：设图G是连通的，其关联矩阵为A，则全部树的数目为 。,即,设:,支路电压,支路电流,节点电压,矩阵形式的KCL,Ai =,A i = 0,矩阵形式KVL,（2） 基本回路矩阵B,2. 支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。,1 支路j与回路i关联，方向一致,-1 支路j 与回路i关联，方向相反,0 支路j 不在回路i中,约定：1. 回路电流的参考方向取连支电流方向。,用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质,B = b i j l b,选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。,1 -1 0 1 0 0,1 -1 1 0 1 0,= Bt 1 ,设,矩阵形式的KVL,0 1 -1 0 0 1,B u = 0,B u = 0 可写成,Bt ut + ul = 0,ul = - Btut,用树支电压表示连支电压,连支电压,树支电压,矩阵形式的KVL的

7、另一种形式,B= Bt 1 ,用连支电流表示树支电流,BT il = i,矩阵形式的KCL,KCL的另一种形式,（3）基本割集矩阵Q,约定 (1) 割集方向与树支方向相同。(2)支路排列顺序先树(连)支, 后连(树)支。,1 j支路与割集i方向一致,-1 j支路与割集i方向相反,0 j 支路不在割集i中,用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质,Q = q i j n-1 b,1 0 0 -1 -1 0,0 1 0 1 1 -1,C1:1,2,4 C2:1,2,3,5 C3:2,3,6,设,ut= u4 u5 u6 T,矩阵形式的KCL,0 0 1 0 -1 1,Qi =0,回路矩阵表示时,用连支电流表示树支电流,矩阵形式的KCL的另一种形式,Qi =0 可写成,回路矩阵和割集矩阵的关系,矩阵形式的KVL,用树支电压表示连支电压,QTut=u,KVL的另一种形式,参考节点,1）道路矩阵 P的构造,(4）树的道路（路径）矩阵P,右图是某图的一个树，所谓道路是指对一个选定的树，从任意节点到参考节点的路径；所谓道路矩阵是指表征各树支与路径(节点)的关联关系的矩阵。后面的分析将会看到，道路（路径

8、）矩阵P的引入会大大简化各关联矩阵的生成。,参考节点,若规定各道路的选号与路的起始节点选号一致，终点是参考点。则第k条路Pk起始节点就是节点k，路的方向从始节点指向参考节点。,则：道路矩阵,它的行对应树支，列对应路径。,参考节点,p2,p1,p3,p4,p5,按上述规定写出P,b2,b1,b3,b4,b5,下面给出证明,2）,这正是引入道路矩阵的目的，直接生成At的逆，也可把树支电压与节点电压联系起来。,可以证明 的（非零）大子阵,其中下标i，k，j分别表示节点的编号、道路编号和支路的编号。若第j条支路不与节点i关联时，ai j=0，第j条支路不在第k条道路Pk上时，有Pj k=0，此时 有di k= ai jPj k=0。,令,3） 的证明,只有第j条支路既与i节点关联，又在Pk上才有di k= ai jPj k0；此时节点i一定在Pk上；,当节点i在Pk上时，若i=k，则只有Pk上的1条支路与节点i相关联；若ik ，则只有Pk上的2条支路与节点i相关联。,) i节点在Pk上，但不是它的始节点，也不是终节点，则必有且只有二条支路和与i节点关联，设为x和y，如图所示。任意改变x 和y的

9、方向结果不变。,（）ik（i不是Pk的始节点）,) i节点不在Pk上， di k= ai jPj k=0；,di k= ai xPx k+ ai yPy k =(-1)(1)+(1)(1)=0,di k= ai xPx k+ ai yPy k =(1)(-1)+(1)(1)=0,（）i=k（i是Pk的始节点）,di k= ai xPx k=(1)(1)=1,di k= ai xPx k=(-1)(-1)=1,综合（）（）有,所以,证明结束,路径矩阵示例,示例,3 各关联矩阵间的关系：设有n个节点b条支的连通图，支路编号顺序先连支后树支,可见关联矩阵A包含了网络有向线图的全部结构信息，即表征了网络的全部结构约束（对任一选定的树和参考节点）。,（对应同一个树）,只规定了回路与支路、割集与支路的关系，而图是节点与支路的集合，因而不唯一,（给定节点支路编号）,（给定树）,A与图的一一对应关系, 1-10 网络的互联规律性,树支电流可以用连支电流来表示，连支电流是完备独立变量。,1. KCL(电荷守恒)的矩阵形式,一、 KCL、KVL定理的矩阵形式,2. KVL (能量守恒)的矩阵形式,连支电压可以用树支电压来表示，树支电压是完备独立变量。,

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