弹性力学与有限元教学课件第4.2章 平面问题有限元法
101页1、15 平面问题有限元法第五章 平面问题有限元法2一、有限元法的实质实质:把有无限个自由度的连续体,理想化为只有有限个自由度的单元集合体,使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。有限单元 离散化 集合 总体分析解 有限元法连续体单元代替原连续体 (近似法) (单元分析) 线性方程组5.1 有限元法解题步骤返回返回第五章 平面问题有限元法35.1 有限元法解题步骤 二、有限元法的解题步骤xy为平面应力问题, 由于结构的对称性 可取结构的1/4来研 究,故所取的力学 模型为1. 力学模型的建立问题的提取:研究对象问题分类:平面问题、轴对称问题、板、梁、杆或组合体等边界条件处理:边界和约束的处理和施加模型简化:对称或反对称、坐标系选取返回返回第五章 平面问题有限元法45.1 有限元法解题步骤 二、有限元法的解题步骤根据研究的要求,可选择适当的单元把结构离散化。对 于平面问题可用三角形单元、四边形单元等。2. 单元的选取、结构的离散化例如:返回返回第五章 平面问题有限元法55.1 有限元法解题步骤 二、有限元法的解题步骤用单元节点的位移通过插值获得单元内各点的位移。通常都是假定单元的位移模式是多
2、项式,一般来说,多项式 的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项 和一次项。3. 选择单元的位移模式单元内任一点的位移列阵;单元的节点位移列阵;单元的形函数矩阵;(它的元素是任一点位置坐 标的函数) 返回返回(5-1)第五章 平面问题有限元法6把(5-2)式代入物理方程,得到用单元节点位移表示的 单元应力表达式:把(5-1)式代入几何方程,得到用单元节点位移表示的 单元应变表达式:5.1 有限元法解题步骤 二、有限元法的解题步骤 4. 单元的力学特性分析利用虚功方程建立单元节点力与节点位移之间的关系,即 单元的刚度方程:式中:返回返回(5-2)(5-3)第五章 平面问题有限元法7由节点位移列阵 代入(5-3)式求出各单元的应力值。5.1 有限元法解题步骤 二、有限元法的解题步骤考虑约束情况,修改整体刚度方程,变成以节点位移为未知 量的代数方程组。解此方程组可求出节点位移。将单刚 组集成总刚 ,并将 组集成总载荷列阵 , 形成总体结构的刚度方程:5. 建立整体结构的刚度方程6. 求解修改后的整体刚度方程7. 由单元的节点位移列阵计算单元应力返回返回第五章 平面问题有限元法85
3、.1 有限元法解题步骤 二、有限元法的解题步骤求解出整体结构的位移和应力后,可有选择地整理输出某些关键点的位移值和应力值,可以输出结构的变形图、应力图、应变图、结构仿真变形过程动画图及整体结构的弯矩、剪力图等。8. 计算结果输出返回返回第五章 平面问题有限元法95.2 三角形常应变单元 一、离散化把弹性体划分为有限个互不重叠的单元体,这些单元在 其顶点(即节点)处互相连接,组成一个单元集合体,以替 代原来的弹性体。同时,将所有作用在单元上的载荷(包括 集中载荷、表面载荷和体积载荷),都按静力等效的原则移 置到节点上,由此便得到了平面问题的有限元计算模型。 对于平面问题,三节点三角形单元是最简单、也是最常用的 单元,在平面应力问题中,单元为三角形板,而在平面应变 问题中,则是三棱柱。返回返回第五章 平面问题有限元法105.2 三角形常应变单元返回返回通常,集中载荷的作用点、分布载荷强度的突变点、分 布载荷与自由边界的分界点、支承点等都应该取为节点。并 且,当物体是由不同的材料组成时,厚度不同或材料不同的 部分,也应该划分为不同的单元。节点的选择及单元的划分节点的多少及单元的大小根据要 求
4、的计算精度、计算机的容量等方面 来综合考虑。在保证计算精度的前提 下,应力求采用较少的单元。划分单元时,应力变化梯度较大的部位单元可小一些, 而在应力变化比较平缓的区域可以划分得粗一些。单元各边的长度不要相差太大,以免出现过大的计算误 差或出现病态矩阵。如上图,左图的划分方式显然要比右图 的方式好。第五章 平面问题有限元法115.2 三角形常应变单元 每一个单元体仍是一个弹性体,弹性力学的基本方程 在每个单元内部同样适用。 如果弹性体内的位移分量函数已知,则应变分量和应 力分量也就确定了,因此,有限元分析必须先假定一个 位移模式。 整个弹性体内各点的位移变化情况非常复杂,很难选 取一个恰当的位移函数。如果分割成小单元,那么在每 个单元的局部范围内就可以采用比较简单的函数来近似 地表示单元的真实位移。返回返回第五章 平面问题有限元法12二、位移模式返回返回位移模式:亦称单元位移函数,是把单元中任意一点的位移近似地表示为该点坐标的某种函数。根据数学理论,在一闭区间内的函数总可以用一个多项式近似描述,多项式的项数越多,精度越高,因此,采用多项式描述单元中的位移函数,其项数受单元节点数的限制。
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