概率论与数理统计随机变量及其分布

1、第2章 随机变量及其分布o问题一：为什么引入随机变量?o问题二：随机事件与随机变量的区别是什么 ？o问题三：随机变量的一些例子？概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的， 为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学的方 法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就 需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示 的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量 的概念。引入随机变量后我们就由对事件及事件概率的研究 转化为随机变量及其规律的研究。问题一：为什么引入随机变量？问题二：随机事件与随机变量的联系与区别 是什么？o随机试验中可能发生也可能不发生的事情为随机事 件，比如，对1、2、3的数集抽取，A是抽中1，B 是抽中2，C是抽中3，那么A、B、C就是随机事件 。随机变量是定义在样本空间上的变量，比如我们 设抽中的是X，那么X可能是1，也可能是2，或是 3。X完整的描述了该样本空间，即X可能值的全部 是样本空间。o随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机 变量则是一种动态的观点。问题三 随机变量的一些例子o在随机试验中，试验结果很多本身就由数量表示o（1）每天进入教室的人数Xo（2）某个

2、时间段吃饭排队的人数Xo（3）电灯泡使用的寿命To而在另一些随机试验中，比如检查一个产品是否 合格，此时样本空间S=合格品，不合格品， 若用1对应合格品，-1对应不合格品，这样就都 有唯一确定的实数与之对应。1.随机变量的引入o从上面的例子可以看出随机试验的结果都可 用一个实数来表示，这个数随着试验的结果 不同而变化，它是样本点的函数，这个函数 就是我们要引入的随机变量。2 随机变量的定义o随机变量：设随机试验的样本空间为S，称定义 在样本空间S上的实值函数X=X( )为随机变量 。o随机变量的表示：o常用大写字母X,Y,Z或希腊字母 等表示o随机变量所取的值，一般采用小写字母x,y,z2 随机变量的定义o注意：o(1)随机变量与普通的函数不同随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差 别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在 样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数)。(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的 各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也 有一定的概率规律.2 随机变量的定义o讲课本例1

3、，例2o练习题:o(1)在有两个孩子的家庭中,考虑其性别 , 共 有 4 个样本点:o若用X表示该家女孩的个数时，则应该怎么 表示？2 随机变量的定义(2)设盒中有5个球 (2白3黑), 从中任抽3个,用随机变量X(e) 的所有可能取值是什么？ （3）设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目 标射击 , 直到击中目标为止,用随机变量X(e) 的所有可能取值是什么？ （4）某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过, 如果某人到达该 车站的时刻是随机的, 用随机变量oX(e) 的所有可能取值是什么？2.2 离散型随机变量及其概率分布o1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它 全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。o连续型随机变量：假如一个随机变量X的可能取值 充满数轴上的一个区间（a,b）,则称X为一个连续 型随机变量。o例（1）投掷一颗骰子点数X的可能取值只有1， 2，3，4，5，6，则X是什么型的随机变量？o（2）电灯泡的使用寿命T，可能取值T0,所 以T是一个什么型的随机变量？2.2 离散型随机变量及其概率分布o2.概率分布o定义1

4、设离散型随机变量X的可能取值为 ， o称为X的概率分布或分布律，也称概率函数。oX的概率分布常用表格的形式来表示。o讲课本例1o练习题：设离散随机变量X的分布列为oX -1 2 3 o 0.25 0.5 0.25o试求P(X0.5),P(-1X2.5)2.2 离散型随机变量及其概率分布o分布律的说明：o当已知一个离散型随机变量X的概率分布时，o而且X所成的任何事件的概率都能够求出来，2.2 离散型随机变量及其概率分布o3 常用离散分布o两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X只有两个可能取值 ，且其分布为o则称X服从 处参数为p的两点分布。o对于一个随机试验E，它只有两种可能的结果A和 ，即Ao要么发生，要么不发生，则这种试验E总可以用（01）分 布来描述，这种试验在实际中很普遍例如，抛掷硬币试验,oA = “出现正面”， “出现反面”；在射击试验中， A=“命中目标 ”, o “未命中目标”;它们都可用（01）分布来描述（01）分 布是实际中经常用到的一种分布2.2 离散型随机变量及其概率分布o二项分布：若一个随机变量X的概率分布由式o给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。记为Xb

5、(n,p)(或 B(n,p).o注：当n=1时，o随机变量X即服从0-1分布o在实际中，把概率很小（一般要求在0.05以下）的事件称o为小概率事件由于小概率事件在一次试验中发生的可能性o很小，因此，在一次试验中，小概率事件实际上是不应该发o生的. 这条原则我们称它为实际推断原理需要注意的是,实o际推断原理是指在一次试验中小概率事件几乎是不可能发生o的，当试验次数充分大时，小概率事件至少发生一次却几乎o是必然的。o如何证明以上这个结论是正确的呢？2.2 离散型随机变量及其概率分布o二项分布在经济管理方面的应用：o在实际问题中，很多商品的销售量都是服从二项分 布的。因为每件商品都只有售出和库存两种状态， 而每件商品售出的概率在一段时间内是基本固定， 因此商品的进货量即为二项分布中的参数n，参数 p的值可利用数理统计方法进行估计，估计公式为 p /n。 为所出售的商品的件数。o在不增加成本的前提下, 追求利润的最大化是迫切 需要解决的问题。其实在有些情况下, 产品可靠性 数据可按二项分布加以分析, 我们只需作出小小的 调整,就能收到良好的效果。2.2 离散型随机变量及其概率分布o二项分布的图

6、形特点：o（1）当（n+1）p不为整数时，二项概率oPX=k在k=(n+1)p时达到最大值o（2）当（n+1）p为整数时，二项概率oPX=k在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达 到最大值o讲课本例3和例4o注意二项分布b(n,p)和两点分布的关系2.2 离散型随机变量及其概率分布o在实际中，我们经常要计算n次独立重 复的贝努利试验中恰好k次成功的概率 ，至少有次成功的概率为 等，当n很大时，要计算出它们的确切 数值很不容易,那我们应该怎么做呢?2.2 离散型随机变量及其概率分布o泊松分布：若一个随机变量X的概率分布为o则称X服从参数为 的泊松分布，记为XP( )o泊松流:若随机事件流具有平稳性、无后效性、普 通性，则称该事件流为泊松流。o对泊松流，在任意时间间隔（0，t）内，事件发生 的次数服从参数为 的泊松分布。 称为泊松流的 强度。2.2 离散型随机变量及其概率分布o在实际中，许多随机现象都可用泊松分布来 描述例如,一批产品的废品数；一本书中 某一页上印刷错误的个数；某汽车站单位时 间内前来候车的人数；某段时间内，某种放 射性物质中发射出的粒子数等等，均可用 泊松分布来描述

7、.泊松分布是概率论中的又 一个重要分布，在随机过程中也有重要应用 。2.2 离散型随机变量及其概率分布o在经济管理决策中，利用泊松分布可以合理安排工 作岗位。 o例如某车间有90台相同的机器，每台机器需要维 修的概率均为0.01，在同一时间每人只能维修一 台机器，在岗位设置中，不同的设置的方法使得机 器出现故障而等待维修的概率是不同的。如果三个 人明确分工，每人负责30台，此时=0.3，机器 需要维修的概率为PX1=0.0369；若三个人 共同负责90台，此时=0.9，机器需要维修的概 率为PX3=0.0135；通过概率的对比可知， 共同协作比各自为政的维修效率有所提高。o讲课本例52.2 离散型随机变量及其概率分布o当试验次数n很大时，对二项分布b(n,p)的概率计 算起来不方便，此时须寻求某种近似计算方法，其 中一种就是二项分布的泊松近似。o定理1（泊松定理）：在n重伯努利试验中，事件A 在每次试验中发生的概率为pn(注意这与试验的次 数n有关)，如果 时， （ 为常数）， 则对任意给定的k,有 o b(k,n, pn)=o讲课本例6，例7 2.3 随机变量的分布函数o1.随机变量的分布函数o定义1 设X是一个随机变量，称F(x)=PXx o 为X的分布函数。有时记作XF（x）o这个概率具有什么特点呢?o具有累积性o这个概率与x有关，不同的x此累积概率的值也不 同。o注：X是数轴上随机点的坐标，则分布函数F(x) 的值就表示X落在区间 的概率。2.3 随机变量的分布函数o对 ，随机点落在区间 的概率o随机变量的分布函数完整地描述了随机变量的统 计规律性。o分布函数的性质：o（1）单调非减。若 ，则o (2) o（3）右联系性，即o讲课本例1 2.3 随机变量的分布函数o2 离散型随机变量的分布函数o特点：oF(x)是一个阶梯函数o跳跃度恰为随机变量X在X= 点处的概率o一个随机变量X的分布函数为阶梯形函数，则X一 定是一个离散型随机变量，概率分布由F(X)唯一确 定。o讲课本例2，3

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