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2013版高考数学专题辅导与训练配套课件:4.2数列的通项与求和(湖北专供-数学文)

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    • 1、第二讲 数列的通项与求和【考情快报】高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题:(1)以递推公式或图、表形式给出条件,求通项公式,考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力,属中档题.(2)通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题,考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用,属中档题.【核心自查】一、主干构建二、重要公式1.“基本数列”的通项公式(1)数列-1,1,-1,1,的通项公式是an= _.(2)数列1,2,3,4,的通项公式是an=_.(3)数列3,5,7,9,的通项公式是an=_.(4)数列2,4,6,8,的通项公式是an=_.(-1)nn2n+12n(5)数列1,2,4,8,的通项公式是an=_.(6)数列1,4,9,16,的通项公式是an=_.(7)数列1,3,6,10,的通项公式是an=_.(8)数列 的通项公式是an=_.2n-1n22.常用的拆项公式(1) _;(2) ;(3) _;(4) 若等差数列an的公差为d,则(5)(6) (7) 提醒:实际应用中,注意验证所拆项是否正确.热点考向 一 求数列的通项公式【典例】1.(2012

      2、长春模拟)已知数列an满足a1=36,an+1-an=2n,则 的最小值为_.2.(2012临沂模拟)已知数列an满足a1=2,(n2),则数列an的通项公式为an=_.3.(2012合肥模拟)已知数列an与bn的前n项和分别为Sn,Tn,a1=1,b1=2,且对任意nN*,都有 成立,求数列an,bn的通项公式.【解题指导】1.利用累加法先求an再求解.2.由递推关系,构造新等差数列 求解.3.先由和与项的递推关系,利用an=S1,(n=1)Sn-Sn-1,(n2)转化为项与项的递推关系再求通项公式.【解析】1.由an+1-an=2n,得a2-a1=2,a3-a2=4,a4-a3=6,an-an-1=2(n-1).将以上n-1个式子累加得又a1=36,an=n2-n+36,当n=6时, 有最小值11.答案:112. 即数列 构成以 为首项, 为公差的等差数列, an=2. 答案:23.(1)由 知Sn=n2an,Sn-1=(n-1)2an-1(n2),两式相减得an=n2an-(n-1)2an-1,即(n2-1)an=(n-1)2an-1,又a1=1也适合上式,因此(2)由Tn=2b

      3、n-2,Tn-1=2bn-1-2(n2),两式相减得bn=2bn-2bn-1,即bn=2bn-1,数列bn构成以b1=2为首项,2为公比的等比数列,bn=2n.【互动探究】题3在题设不变的情况下,令(nN*),试证明【证明】由题3知 f(n)0,f(1)+f(2)+f(3)+f(n)f(1)=又f(1)+f(2)+f(n)=【拓展提升】求数列通项公式的常见类型及方法(1)归纳猜想法:已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归纳猜想法.(2)已知Sn与an的关系,利用 求an.(3)累加法:数列递推关系形如an+1=an+f(n),其中数列f(n)前n项和可求,这种类型的数列求通项公式时,常用累加法(叠加法).(4)累乘法:数列递推关系如an+1=g(n)an,其中数列g(n)前n项可求积,此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法).(5)构造法:递推关系形如:an+1=pan+q(p,q为常数),可化为的形式,利用 是以p为公比的等比数列求解;递推关系形如 可化为的形式.提醒:注意对n分类讨论.热点考向 二 数列求和【典例】(12分)(2012惠州模拟)已知数列an满足:a1=1,a2

      4、= ,且 3+(-1)n an+2-2an+2(-1)n-1=0,nN*.(1)求a3,a4,a5,a6的值及数列an的通项公式;(2)设bn=a2n-1a2n-(-1)nlna2n,求S2n.【解题指导】(1)令n=1,2,3,4代入递推关系式求得a3,a4,a5,a6的值,并据此分n为奇数、偶数探究数列an的递推关系,从而求得an.(2)在(1)的基础上求得bn的通项公式,根据其结构特征选择求和方法求和.【规范解答】(1)经计算a3=3,a4= ,a5=5,a6= 当n为奇数时,an+2=an+2,即数列an的奇数项成等差数列,a2n-1=a1+(n-1)2=2n-1;2分当n为偶数,an+2= an,即数列an的偶数项成等比数列,因此,数列an的通项公式为 4分 (2)并设数列cn,dn的前n项和分别为Tn,Tn.6分,两式相减,得T2n=-1+2-3+4-+2nln2=nln2,11分S2n=T2n+T2n=3-(4n+3)( )2n+nln2.12分【互动探究】在本题的条件下,若数列bn满足求其前n项和Sn.【解析】因为【拓展提升】数列求和的常见类型及方法(1)通项公式形如a

      5、n=kn+b或an=pqkn+b(其中k,b,p,q为常数),用公式法求和.(2)通项公式形如 (其中k1,b1,k2,b2,q为常数),用错位相减法.(3)通项公式形如 (其中a,b1,b2,c为常数)用裂项相消法.(4)通项公式形如an=(-1)nn或an=a(-1)n(其中a为常数,nN*)等正负交叉项的求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.(5)若数列的通项公式为以上四种中的某几个构成的,则可用分组法(拆项法)求和.提醒:(1)运用公式法求和时注意公式成立的条件.(2)运用错位相减法求和时,相减后,要注意右边的n+1项中的前n项,哪些项构成等比数列,以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零. 【思想诠释】数列求和中的转化与化归思想(1)本题中的转化与化归主要是:将通项公式an的求解转化为等差、等比数列通项公式的求解.求Sn转化为求cn与dn的前n项和,再转化为求(2)数列求和中应用转化与化归思想的常见类型:错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解.并项求和时,将问题转化为等差数列求和.分组求和时,将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消

      6、法或并项法求和的几个数列的和求解.1.(角度新)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a3=5,S15=225,(1)求数列an的通项an;(2)设 求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d,由题意,得 解得 an=2n-1.(2)当n为偶数时,当n为奇数时,2.(角度新)已知数列2n-1an的前n项和 (1)求数列an的通项公式;(2)【解析】(2)设 的前n项和为Tn,3.(交汇新)已知数列an的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,记an与an+1的等差中项为kn.(1)求数列an的通项公式;(2)(3)设集合A=x|x=kn,nN*,B=x|x=2an,nN*,等差数列cn的任意一项cnAB,其中c1是AB中的最小数,且110c10115,求cn的通项公式.【解析】(1)点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,Sn=n2+2n(nN*),当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1.当n=1时,an=S1=3满足上式,所以数列an的通项公式为an=2n+1.(2)kn为an与an+1的等差中项,Tn=4341+4542+4743+4(2n+1)4n 由4,得4Tn=4342+4543+4744+4(2n+1)4n+1 -得:-3Tn=434+2(42+43+4n)-(2n+1)4n+1(3)A=x|x=kn,nN*,B=x|x=2an,nN*,AB=B,cnAB,c1是AB中的最小数,c1=是公差为4的倍数的等差数列,c10=36m+6(mN*).又110c10115,解得m=3.所以c10=114,设等差数列的公差为d,则

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