西电《通信原理》课件第二章

1、西安电子科技大学第一章西安电子科技大学第二章 随机过程第二章西安电子科技大学2内容提要2.1 随机过程的基本概念和统计特性 2.2 平稳随机过程 2.3 高斯随机过程 2.4 随机过程通过线性系统 2.5 窄带随机过程 2.6 正弦波加窄带随机过程作业：1、5、7、8、9、10、14、20西安电子科技大学第一章西安电子科技大学2.1 随机过程的基本概念和统计特性返回第二章西安电子科技大学4n随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值 不确定(随机变量)n样本函数：随机过程的具体实现n样本空间：所有实现构成的全体n所有样本函数及其统计特性构成了随机过程一、随机过程的概念第二章西安电子科技大学5二、随机过程的统计特性n分布函数与概率密度函数n一维分布函数n一维概率密度函数nn维分布函数nn维概率密度函数第二章西安电子科技大学6三、随机过程的数字特征n均值n是时间t的函数n它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 n方差n它表示随机过程在时刻 t 对于均值的偏离程度 n均值和方差描述了随机过程在各个孤立时刻的特征，为了 描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用 二维概率密度引入

2、新的数字特征。 第二章西安电子科技大学7n自相关函数n自协方差函数n二者关系为n当a(t)=0时n若 令 则有第二章西安电子科技大学8n对于两个或更多个随机过程，可引入互协方 差及互相关函数。n设 分别表示两个随机过程 n互协方差函数 n互相关函数西安电子科技大学第一章西安电子科技大学2.2 平稳随机过程返回第二章西安电子科技大学10一、平稳随机过程的概念n平稳随机过程它的统计特性不随时间的推移 而变化。n狭义平稳（严平稳）n它的一维分布与时间 t 无关，二维分布只与时间 间隔 有关 第二章西安电子科技大学11二、平稳随机过程的数字特征n均值n表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。n方差n起伏偏离数学期望的程度也是常数n自相关函数n均值与时间无关，自相关函数只与时间间隔有关第二章西安电子科技大学12三、广义平稳（宽平稳）n严平稳随机过程的定义式，要求对于所有的n均成立， 在实际应用中很复杂。引入另外一种平稳随机过程的 定义：n一个二阶矩随机过程，它的均值为常数，自相关 函数仅是时间间隔的函数，则称它为宽平稳随机过程 或广义平稳随机过程。n一个严平稳随机过程只要它的均方值 有界

3、， 则它必定是广义平稳随机过程，但反过来一般不成立 。n通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳 的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均 假定是平稳的， 且均指广义平稳随机过程， 简称平稳 过程。第二章西安电子科技大学13四、各态历经性(遍历性)：n随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可 能状态。n随机过程的统计平均特性，可以由其任一实现(样本函 数)的时间平均特性来代表。n假设 是平稳随机过程 的任意一个实现， 它的时间均值和时间相关函数分别为遍历过程必定是平稳过程，反之不然遍历时间平均代替统计平均第二章西安电子科技大学14五、平稳过程自相关函数的性质n1. 平均功率n2. 直流功率n3. 交流功率n4. 偶函数n5. 上界第二章西安电子科技大学15六、平稳过程的功率谱密度任一实现的功率谱统计平均截短函数第二章西安电子科技大学16n平稳随机过程的功率谱密度与其自相关函数是一 对傅里叶变换关系n称为维纳-辛钦关系n功率谱密度的性质n 非负性n 偶函数n可定义单边谱或第二章西安电子科技大学17例题西安电子科技大学第一章西安电子科技大学2.3 高斯随机过程返回第二章西安电

4、子科技大学19一、高斯随机过程的基本概念n若随机过程(t)的任意n维（n=1, 2, ）分布都 是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程 。n高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期 望、 方差和两两之间的归一化协方差函数所决定 。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征 就可以了。第二章西安电子科技大学20高斯随机过程的基本概念n 为归一化协方差矩阵的行列式，即 第二章西安电子科技大学21高斯随机过程的基本概念n 中元素 的代数余因子 ； 为归一化协方差函数，且 第二章西安电子科技大学22二、高斯随机过程的性质n广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。 n如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那 么它们也是统计独立的。n高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程 ，仍是高斯过程。n若干个高斯过程的代数和仍是高斯过程。第二章西安电子科技大学23一维正态分布na为高斯随机变量的数学期望， 为方差。 n记为N（a ，2），具有以下性质：n关于直线 x=a 对称n n 表示集中程度n随着 的减小n曲线变高、变窄。第二章西安电子科技大学24n当a=0，=1时，称为标准正态分布，n记为N（0，

5、1）。n正态分布函数是概率密度函数的积分n这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个 积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数 联系起来，一般常用误差函数和互补误差函数。第二章西安电子科技大学25三、误差函数和互补误差函数n误差函数 n自变量的递增函数 n n n互补误差函数 n自变量的递减函数n n 第二章西安电子科技大学26误差函数与正态分布函数的关系n用误差函数或互补误差函数表示F(x)的好处是， 它简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声 性能。n如第五章， ， ，第二章西安电子科技大学27四、高斯白噪声n白噪声它的功率谱密度均匀分布在整个频率 范围内n是一个理想的宽带过程。nn0为一常数，单位是瓦/赫双边谱单边谱第二章西安电子科技大学28n白噪声是平稳随机过程n白噪声只有在 时才相 关，而它在任意两个时刻上 的随机变量都是互不相关的 。n高斯白噪声n如果白噪声又是高斯分布的 ，我们就称之为高斯白噪声 。n高斯白噪声在任意两个不同 时刻上的取值之间，不仅是 互不相关的，而且还是统计 独立的。 西安电子科技大学第一章西安电子科技大学2.4 随机过程通过线性系统返回第二章西安

6、电子科技大学30一、输出过程的统计特性n假定输入是平稳过程，分析输出过程的统计特性。n数学期望 第二章西安电子科技大学31自相关函数 自相关函数只依赖时间间赖时间间 隔而与时间起点无关 若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳 第二章西安电子科技大学32输出过程的功率谱密度第二章西安电子科技大学33二、带限白噪声 n白噪声LPFn理想低通的传输特性为n输出噪声的功率谱密度在 n内是均匀的， 在此范围外则为0n通常把这样的噪声称为带限白噪 声。第二章西安电子科技大学34带限白噪声的自相关函数n带限白噪声只有在 上 得到的随机变量才不相关。n对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不 相关的随机变量 n带限白噪声的平均功率 西安电子科技大学第一章西安电子科技大学2.5 窄带随机过程返回第二章西安电子科技大学36引言n是随机过程通过窄带系统的输出。n窄带条件：n1. n2. 远离零频n实例包络缓慢变化的正弦波n实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄 带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信 号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程 。第二章西安电子科技大学37窄带过程

7、的频谱和波形示意图第二章西安电子科技大学38一、窄带随机过程的表示包络相位形式随机包络随机相位同相分量正交分量统计特性统计特性第二章西安电子科技大学39二、同相和正交分量的统计特性n设窄带过程 是平稳高斯窄带过程，且均值为 零，方差为 n数学期望n自相关函数第二章西安电子科技大学40第二章西安电子科技大学41n由于 是平稳的n取t=0n这时，显然有第二章西安电子科技大学42续上页n取n可见， 是平稳的n并且有：n同相分量和正交分量具有相同的自相关函数 第二章西安电子科技大学43n利用互相关函数的性质n得：n同理可得：n可见 的互相关函数都是奇函数n 在同一时刻的取值是互不相关的随机变量 n因此有n 具有相同的平均功率或方差 代入第二章西安电子科技大学44n因为 是平稳的，所以 在任意时刻的取值 都是服从高斯分布的随机变量。n当n当n因此， 也是高斯随机变量 n 也是高斯随机过程 n 在同一时刻的取值是互不相关的随机 变量，因而它们还是统计独立的。第二章西安电子科技大学45结论1n一个均值为零的窄带平稳高斯过程 ，n它的同相分量和正交分量也是平稳高斯过程n而且均值都为零，方差也相同。n此

8、外，在同一时刻上得到的和是互不相关和或 统计独立的。 第二章西安电子科技大学46三、包络和相位的统计特性n也即 和 的统计特性n 的联合概率密度函数为n设 的联合概率密度函数为n则：n又因为：第二章西安电子科技大学47n得到：n于是有：第二章西安电子科技大学48n利用概率论中的边际分布知识 n同理n可见， 服从瑞利分布， 服从均匀分布， 且它们统计独立。第二章西安电子科技大学49结论西安电子科技大学第一章西安电子科技大学2.6 正弦波加窄带随机过程返回第二章西安电子科技大学51引言n信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了 减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带 通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。n因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混 合波形。n最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波，所 以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性 。第二章西安电子科技大学52n设合成信号为 ： 为窄带高斯噪声， 其均值为零，方差为 常数 上均匀分布 的随机变量一、包络和相位的统计特性第二章西安电子科技大学53n当给定时， 是相互独立的高斯随机变量 。 n在给定相位的条件下 的联合概率密度函数 第二章西安电子科技大学54求条件边际分布，有 与无关，这个概率密度函数称为广义瑞利分布， 也称莱斯（Rice）密度函数 第二章西安电子科技大学55n上式存在两种极限情况：n当信号很小， 这时合成波中只存在 窄带高斯噪声，由莱斯分布退化为瑞利分布。n当信噪比r很大时 ，近似于正态分布。n信号加噪声的合成

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