单辉祖材力-7(第八章_应力状态分析_第九章_强度理论与组合变形)

1、第八章 应力应变状态分析构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称为 该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面上的 应力表示。8-1 概 述一点处的应力状态目的：通过应力状态分析求出该点处的max、max及其 作用面，从而更好地进行强度分析。单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的 性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上 的应力。单元体如何取？在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平面 构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量dx 、dy和dz，如下图所示。dydzdxzxy8-2 平面应力状态分析主应力对图a所示悬臂梁上A点处单元体上的应力分布 （图b）可见：有一对平面上的应力等于零，而不 等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。AF(a) adcbAabdc (b)adcbA该应力状态则称为平面 应力状态，其单元体可简化 为左图所示情形。1、斜截面上的应力已知如下图a（或图b）所示的一平面应力状态：efanxyzabcdx y(a) xyyyxxdabcxyxx(b) x xyyyy可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上应 力。如图b所示，斜截面ef的外法线与x轴间的夹

2、角为 ，称为截面。应力的正负和斜截面夹角的正负规定： 1）正应力拉为正，压为负； 2）切应力使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之 为负； 3）对角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法 线重合时，其值为正；反之为负。取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面 上应力和斜截面夹角均为正。efb yx(c) xy由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法 线n和切线t方向可得：ntydAsin(d) bfydAsindAxdAcosedAxdAcos由此可得，任一斜截面上的应力分量为：其中dA为斜截面ef的面积。解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：例：图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉 力F=500kN，外力矩Me=7kNm。求C点 =30截面 上的应力。(b)Cx xxx x yyy(a)xT FT CF图示斜截面上应力分量为：Cx xxx x yyy30 n -30-302、应力圆由任一斜截面上应力分量的计算公式可得： 两式两边平方后求和可得：而圆方程为： 可见前式实际上表示了在为水平轴、为垂直轴 的坐标系下的一个圆，其圆心坐标为：半径为：如下图。单元体斜截面上

3、应力（，）和应力圆上点的 坐标（，）一一对应，因此可通过确定应力圆上 相应点的坐标来求斜截面上应力（，）。因为圆心一定在轴上，只要知道应力圆上的两 点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。O C1）应力图的画法已知x、y、x、y， 如右图，假定xy。 在、 坐标系内按比例尺确定两点： dabcefxyxxnax xyyyy 以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即为应力圆。 连接D1、D2两点，线段D1D2与轴交于C点。CC2）证明 对下图所示应力圆可见C点的 横坐标为： 从D1点按斜截面角的转向转 动2得到E点，该点的坐标值 即为斜截面上的应力分量值。C2OC2FA1B1B2A2D1D2Exyyx 1202由于可得：因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述圆 确为应力圆。则：另外，E点横坐标为： 可见，E点坐标值即为斜截面上的应力分量值。即：同理可得E点的纵坐标为：由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量 值一一对应，因此，按比例作图，可通过直接用尺子 量出坐标值来求任意斜截面上的应力分量，此即称为 图解法。解：按一定比例画出应力圆。 例

4、：用图解法求图示 =30斜截面上的应力值。因为图示应力状态有：x30x=35.7MPax=63.7MPayn按一定比例，作出应 力圆，并找到斜截面对应 的点，量取其坐标可得： 则x、y截面在应力圆上两点为：EDy(0, 35.7)Dx(63.7,-35.7)60-30(-30， )20MPa3、主平面和主应力对图a所示应力状态，作出应力圆（图b）。10 122主平面：剪应力 =0的平面；主应力：主平面上的正应力。可证明：并规定：可见：xy (a ) ODyDxCA2A120(b )具体值可在应力圆上量取，即：主平面位置：图a中1主平面的方位角0对应于应力 圆（图b）上的圆心角20。 主应力值和主应力平面的计算：由图b可见，A1、A2两点的横坐标为：，IV象限由此可得两个主应力值为：因为1主平面方位角的两倍对应于应力圆上20，而 IV象限。注意：20的值与其所在的象限有关，而其所在象限 与计算式中分子、分母的正负有关，即：I象限；II象限；III象限；所以，1主平面方位角0为： 例 求图a所示应力状态的主应力及方向。解：1、应力圆图解法：因为：所以：按一定比例作出应力圆（图b）。yx30

5、MPa100MPa=40MPax(a)DxDyA3A120(b)由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大 小关系可得：由此可得：主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：101yx(c)2、解析法 ：所以：例：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图a和b所示 ，梁的尺寸见图c。试通过应力圆求截面C上a、b两 点处的主应力。解：首先作出梁的剪力和弯矩图如图d和e所示：(a)B 8 m10 mA250 kNC(b)fza(c)b12015270159(d) FS图M图(e)M(kNm )80x200 kN50 kNFSx由此可得C截面处的弯矩和截面左侧的剪力为：又因为横截面的惯性矩和计算a点切应力所 需的静矩为：且： 由此可得C截面上a点处正应力和切应力分别为：该点的应力状态如图f所示，选定适当的比例， 即可绘出相应的应力圆，如图g所示。y(f) yyxx xxxx=122.7MPa x=64.6MPa y=-64.6MPa/MPa/MPaOA1A2 CD1(122.7,64.6)D2(0,-64.6) 3max20(g) 由应力圆可得a点处的主应力为：且：则1主平面的方位角0为：显然， 3主平面

6、应垂直与1主平面，如下图所示。31yyyxx xxx对C截面上的b点，因yb=0.15m可得：该点的应力状态如图h所示，选定适当的比例， 即可绘出相应的应力圆，如图i所示。x=136.5 MPa(h) xyx(i) maxD2(0,0) /MPa/MPaD1(136.4,0)b点处的主应力为：1主平面就是x平面，即梁的横截面C。8-3 空间应力状态的概念下图所示单元体的应力状态是最普遍的情况， 称为一般的空间应力状态。图中x平面有：图中y平面有：图中z平面有：在切应力的下标中，第一个表示所在平面，第 二个表示应力的方向。xyzOdxdydzxy xzxyxyyzxy zzxxyxxzzyzzxyx yyz可以证明，对上述应力状态一定可找到一个 单元体，其三对相互垂直的面都是主平面，其上 应力分别为：空间应力状态共有9个分量，然而，根据切应 力互等定理可知，独立的分量只有6个，即：空间应力状态：三个主应力都不等于零；平面应力状态：两个主应力不等于零；单向应力状态：只有一个主应力不等于零。该单元体称为主单元体。例：下图a所示钢轨的轨头受车轮的静荷作用时，其 应力状态即为图b所示三向压应力状

7、态。113322(b)(a)F考虑图a所示主单元体中斜截面上的应力。 对与3平行的斜截面：同理：和2平行的斜截面上 应力与2无关，由1、3的应力 圆确定；和1平行的斜截面上应 力与1无关，由2、3的应力圆 确定。下面分析空间应力状态下的最大正应力和切应力。c ab133(b)2121332(a)进一步研究表明，一般斜截 面abc面上应力位于图c所示的阴 影部分内。由图b可知，该面上应力、 与3无关，由1、2的应力圆来 确定。max作用面为与2平行，与1或3成45角的斜 截面。所以，由1、3构成的应 力圆最大，max作用点位于 该圆上，且有：因为：O 321maxBDAmax(c)注意：max作用面上，0。例：用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面 ，最大切应力max及作用面。解：由图示应力状态可知z=20MPa为一主应力， 则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。可由 图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。2020 40(b)(a)20MPa20MPa40MPa20MPaxyz图b所示平面应力状态对应的应力圆如图c。最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。O31A CD2

8、D1(c )Omax321BA CD2D120(d)由此可得：作用面与2平行而与1成45角，如图e所示。最大剪应力对应于B点的纵坐标，即x(e)321max4517例：对下列图示应力状态，求剪应力最大值。 =60 =40可求得：8-4 应力与应变之间的关系1、各向同性材料的广义胡克定律 时，2）纯剪应力状态：1）单向应力状态：横向线应变：xgxy时，3）空间应力状态：对图示空间应力状态：正负号规定：正应力分量同前，拉为正、压 为负；切应力分量重新规定，正面（外法线与坐 标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正向一致或 负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为 正，反之为负。六个应力分量，dxdydzxy xzxyxyyzxy zzxxyxxzzyzzxyx yyz对应的六个应变分量，正负号规定：正应变分量同前，拉为正、压为 负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下， 正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力 分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：三个正应力分量单独作用时，x方向的线应变为：同理可得：则可得：对切应力分量与切应变的关系，有：上述六个

9、关系式即为空间应力状态下，线弹性 和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。对平面应力状态：设z=0，xz=0，yz=0，有：若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：二向应力状态：设有可见，即使3 =0，但3 0，而且各向同性材料有例：已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变 值为1=24010-6，3=16010-6。材料的弹性模量E =210GPa，泊松比 =0.3。求该点处的主应力值数 ，并求另一应变2的数值和方向。解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：即为平面应力状态，有联立两式可解得：主应变2为：其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。例：边长a =0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较 大、变形可忽略的钢凹槽中，如图a所示。已知铜 的弹性模量E=100GPa，泊松比 =0.34。当受到 F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的主应力、 体应变以及最大切应力。解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为：yxz(b)yxz(a)Faaa联解可得：受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零 ，并产生压应力，即有：利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：则铜块的主应力为：由此可得其体应变为：第九章 复杂应力状态强度问题对单轴或纯剪切应力状态，可由实验测得的相应 的材料许用应力来建立正应力和切应力强度条件。而当一点处的

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