高中数学奥赛辅导讲座：集合

1、高中数学奥赛辅导讲座集合是一种基本数学语语言、一种基本数学工 具。它不仅仅是高中数学的第一课课，而且是整 个数学的基础础。对对集合的理解和掌握不能仅仅 仅仅停留在高中数学起始课课的水平上，而要随 着数学学习习的进进程而不断深化，自觉觉使用集 合语语言(术语术语 与符号)来表示各种数学名词词， 主动动使用集合工具来表示各种数量关系。如 用集合表示空间间的线线面及其关系，表示平面 轨轨迹及其关系、表示方程(组组)或不等式(组组)的 解、表示充要条件，描述排列组组合，用集合 的性质进质进 行组组合计计数等。知识系统及其结构： 基本概念：1、集合：一定范围内、确定的、互异的研究对象 ，作为一个整体称为集合，简称集各个对象叫 做集的元素元素有四个属性：确定性、互异性 、无序性、任意性。2、无限集：含无限多个元素的集称无限集. 3、有限集：含有限个元集的集称为有限集 4、列举法：对有限集，可把它所有的元素写在一 个大括号内，这种表示集合的方法叫列举法。5、描述法：把集合中所有元素的共同属性写在大括 号内，这种方法叫描述法.6、空集：一般地，把不含有任何元素的集合叫做空 集，记作   显然

2、对任一非空集合A,A。7、元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说 a属于集合A，记作aA； 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作 a  A，（或a   A）8、常用集合的字母表示：自然数集、整数集、有理 数集、实数集、复数集分别用大写字母N、Z、Q、R 、C表示有时还用Q表示正有理数集，用R表示 负实数集，等等 9、子集：若集A的元素都是集B的元素，就称A为B 的子集，记作A  B显然A   A。10、真子集：对于两个集合A与B，如果A B， 并且A B，就说集合A是集合B的真子集，记作 A   B（或B   A）。空集是任何非空集合的真 子集12、集合相等：对于集合A，B，如果A   B，同时   B   A，那么AB13、交集：对任意两个集合A与B，所有属于集合 A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交 集，记作ABABx|xA且xB11、集合的子集个数：集合A有n个元素，集A的子 集共有2n个，真子集有2n -1个，非空真子集有2n -2 个.14、并集：由所有属于集

3、A的元素或属于集B的元 素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB ABx|xA或xB15、全集：如果集体S含有所要研究各个集合的全 部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常 用表示U表示16、补集：一般地，设S中一个集合，A是S的一个 子集（即A S），由S中所有不属于A的元素组成的 集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作   A 即   Axx   S，且x   AS17、集合的包含关系有传递性： A   B，B  CA   C ； A  B，B   CA   C 如韦恩图所示。18、运算的性质：对任意集合A与B，总有 AAAAAA AABBAABBA A  AI，A  A     交、并、补运算有德摩根律：(AB)  A  B   ，   (AB)=    A   B19、形如2n(nZ)的整数叫做偶数，形如 2n1(nZ)的整数叫做奇数， 奇数偶数Z，奇数偶数 &

4、nbsp;   若IR，则   Q 无理数称无理数集SSSSSSSSS一.集合里的元素是什么 集合学习中，新名词新概念多。如集合、元素、有限集 、无限集、列举法、描述法、子集、真子集、空集、非空集 合、全集、补集、交集、并集等。新关系新符号多，如属于 、不属于、包含、包含于、真包含、真包含于、相等、不相 等、相交、相并、互补(、 、 、 、 、N、N 、Z、Q、 R、CsA、I、)等，这些新概念新关系， 多而抽象。在这千头万绪中，应该抓住“元素”这个关键，因 为集合是由元素确定的，“子、全、补、交、并、空”等集合 也都是通过元素来定义的。集合中元素的特征即“确定性”， “互异性”、“无序性”也就是元素的性质。集合的分类(有限 集与无限集)与表示方法(列举法与描述法)也是通过元素来刻 画的。元素是集合的基本内核，研究集合，首先就要确定集 合里的元素是什么。、 例设设集合A（3，2）。已知x、yN，xy, x3+19y=y3+19x,判断a=            与集合A的关系分析：解决本题题的关键键在于由已

5、知条件确定x+y的取值值范围围 ，从而利用对对数函数的单调单调 性确定a   的范围。解：因为为x3- y3= 19(x-y),且x、yN，xy,所以 x2+x0,则0b-ab，与b 的取法矛盾。所以b=0。任取x S1因0S2,故x0xS3。所以    ，同理     所以S1= S2。 (2)可能。例如S1= S2=奇数，S3=偶数显然满 足条件，S1和S2与S3都无公共元素。例设设S为满足下列条件的有理数的集合： 若aS，bS，则a+bS，abS； 对任一个有理数r，三个关系rS， rS，r0有且仅有一个成立。 证明：S是由全体正有理数组成的集合。证证明：设设任意的rQ，r0,由知rS，或rS之一成立 。再由，若rS，则则      ；若rS， 则                  。总之，取r=1，则则1S。再由，2=1+1S，3=1+2S，可 知全体正整数都属于S。 设设p、qS，由pqS，又由前证证知 &n

6、bsp;       ，所以。因此，含有全体正有理数。再由知，0及全体负负有理数不属于。即是由全体正  有理数组组成的集合。例10.已 知集合：问(1)当a取何值时，(AB)C为含有两个元素的集合？ (2)当a取何值时，(AB)C为含有三个元素的集合？解：(AB)C =(AC)(BC)。AC与BC分别为方程组()()的解集。由（）解得（x,y）=（0，1）=（   ，   ）；由（）解得（x,y）=（1，0）， (1)使(AB)C恰有两个元素的情况只有两种可能 由解得a=0；由解得a=1。故a=0或1时时，(AB)C恰有 两个元素 (2)使(AB)C恰有三个元素的情况是： 解得            ，故当            时时，(AB)C恰有三个元素。例10.设设nN且n15，A、B都是1，2，3，n真子集 ，AB=，且AB=1，2，3，n。 求证：A或者B中必有两个不同数的和为完全平方数。证证明：由

7、题设题设 ，1，2，3，n的任何元素必属于且只属 于它的真子集A、B之一。假设结论设结论 不真，则则存在如题设题设 的1，2，3，n的真子 集A、B，使得无论论是A还还是B中的任两个不同的数的和都不 是完全平方数。不妨设设1A，则则3  A，否则则1+3=22，与假设设矛盾，所以 3B。同样样6  B，所以6A，这时这时 10  A，即10B。 因n15，而15或者在A中，或者在B中，但当15A时时，因 1A，1+15=42，矛盾；当15B时时，因10B，于是有 10+15=52，仍然矛盾。因此假设设不真。即结论结论 成立。已知Axx24x30，xR，Bx21x a0，x22(a7)50，xR，若A   B，则 实数a的取值范围是_ 易得：A(1，3)，设要使只需f (x)、g (x)在(1，3)上的图象均在x轴下方， 其充要条件是f (1)0，f (3)0，g (1)0， g (3)0，由此推出4a1三.有限集合子集的个数问题：(1) 集合a一共有几个子集？(2) 集合a，b一共有几个子集？(3) 集合a,b,c一共有几个子集？(4) 集合a,

8、b,c,d一共有几个子集？(5) 猜想集合a1,a2，an一共有几个子集？(6) 利用上述猜想确定符合下列条件的集合M的 个数： 1,2 M 1,2，3,4，5,6，7,8，9,10。以上诸问题都牵涉到有限集合子集的个数问题。以上诸问题都牵涉到有限集合子集的个数问题。有限集合a的子集有:,a;共两个有限集合a,b的子集有:,a,b,a,b;共4 22个；有限集合a,b,c的子集有:;a,b,c； a,b,a,c, b,c；a,b,c；823个；有限集a,b,c,d的子集有:a,b,c,d; a,b,a,c,a,d,b,c,b,d,c,d； a,b,c,a,b,d,a,c,d,b,c,d;a,b,c,d； 共1624个。这里，a,b,c,d的子集可以分成两部 分，一部分不包括d，是a,b,c的子集；另一部分 包括d，是a,b,c中每一个子集与d的并集。循此思路，注意到2，422，823，1624 的规律，可以猜想有限集合a1,a2，an的子集 共有2n个，其中非空子集有2n1个；真子集也有 2n1个，非空真子集有2n112n2个。利用上述猜想，问题(6)中集合M的个数应当 有28256个

9、。例7一个集合含有10个互不相同的两位数 。试证，这个集合必有2个无公共元素的子 集合，此两子集的各数之和相等。分析：两位数共有10,11，,99，计99 990个，最大的10个两位数依次是 90,91，,99，其和为945，因此，由 10个两位数组成的任意一个集合中，其任 一个子集中各元素之和都不会超过945， 而它的非空子集却有21011023个，这 是解决问题的突破口。例7一个集合含有10个互不相同的两位数。试证， 这个集合必有2个无公共元素的子集合，此两子集的 各数之和相等。解：已知集合含有10个不同的两位数，因它含有 10个元素，故必有2101024个子集，其中非空 子集有1023个，每一个子集内各数之和都不超过 909198999451023，根据抽屉原理， 一定存在2个不同的子集，其元素之和相等。如 此2个子集无公共元素，即交集为空集，则已符 合题目要求；如果这2个子集有公共元素，则划 去它们的公共元素即共有的数字，可得两个无公 共元素的非空子集，其所含参数之和相等。说明：此题构造了一个抽屉原理模型，分两 步完成，计算子集中数字之和最多有945个“ 抽屉”，计算非空子集得1023个“苹果”，由此 得出必有两个子集数字之和相等。第二步考 察它们有无公共元素，如无公共元素，则已 符合要求；如有公共元素，则去掉相同的数 字，得出无公共元素并且非空的两个子集， 满足条件。可见，有限元素子集个数公式起 了关键作用。例8设A1,2，3，n，对xA，设x中各元素之和为 Nx，求Nx的总和解：A中共有n个元素，其子集共有2n个。A中每一个元素在 其非空子集中都出现了2n-1次，(为什么？因为A的所有子集 对其中任一个元素i都可分为两类，一类是不含i的，它们也 都是1,2，i-1,i+1,n的子集，共2n-1个；另一类是 含i的，只要把i加入到刚才的2n-1个子集中的每一个中去)。 因而求A的所有子集中所有元素之和Nx的总和时，A中每一个 元素都加了2n-1次，即出现了2n-1次，故得12n-122n-1n2n-1(12n)2n-1=n(n+1)/22n-1=n(n+1)2n-2说明：这里运用了整体处理的思想及 公式12n(1/2)n(n+1)，其 理论依据是加法的交换律、结合律、 乘法的意义等。得出集合中每一个元 素都在总

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