考研高数总复习第三章线性方程组第一节(讲义)
42页1、第第 一一 节节 消消 元元 法法主要内容主要内容线性方程组的概念线性方程组的概念消元法消元法消元法的总结消元法的总结线性方程组与矩阵线性方程组与矩阵消元法的几何解释消元法的几何解释现在来讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为一、线性方程组的概念一、线性方程组的概念的方程组,其中 x1, x2 , , xn 代表 n 个未知量,s 是方程的个数,aij (i = 1, 2, , s, j = 1, 2, , n) 称为方程组的系数系数,Bi (i = 1, 2, , s) 称为常数项常数项.方程中未知量的个数 n 与方程的个数 s 不一定相等.系数 aij 的第一个指标 i 表示它在第 i 个方程,第二个指标 j 表示它是 xj 系数.所谓方程组k1, k2 , , kn 组成的有序数组 ( k1, k2 , , kn ),当x1, x2 , , xn 分别用 k1, k2, , kn 代入后,(1) 中每个等式都变成恒等式.方程组 (1) 的解的全体称为的一个解解就是指由 n 个数它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解,或者说,求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解
2、集合,它们就称为同解的同解的.显然,如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项,那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说,线性方程组来表示.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.可以用下面的矩阵二、消元法二、消元法1 1引例引例例例 用消元法解线性方程组解解 用消元法求解,其步骤如下:STEP 2 STEP 2 方程 (1) 乘以 -2 加到方程 (2); STEP 1STEP 1 交换方程 (1) 与 (2) , 得方程 (1) 乘以 1 加到方程 (3), 得STEP 3STEP 3 交换方程 (4) 与方程 (5), 得STEP 4STEP 4 方程 (5) 乘以 -4 加到方程 (4) , 得STEP 5STEP 5 方程 (6) 加到方程 (5) , 得 STEP 6STEP 6 方程 (7) 加到方程 (1), 方程 (6) 乘例 1 中所用的消元法的过程, 实际上是对方以 -1 得程组施行如下的运算或变换:(1)(1) 一个方程的两端乘以一个不等于零的数一个方程的两端乘以一个不等于零的数; ;(2)(2) 一个方程的两端乘以同一个数后加到另一个方程的两端乘以同一
3、个数后加到另一个方程上去一个方程上去. .定义定义 1 1 变换变换 (1)(1),(2)(2),(3)(3) 称为线性方程组称为线性方程组的的初等变换初等变换.(3) (3) 交换两个方程在方程组中的位置交换两个方程在方程组中的位置; ;2 2 消元法的证明消元法的证明消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明,初等变换总是把方程组变成初等变换总是把方程组变成同解方程组同解方程组.证明证明只证变换 (2)(2)对于方程组进行第二种初等变换.为简便起见,不妨把第二个方程的 k 倍加到第一个方程得到新方程组现在设 (c1, c2, , cn) 是 (1) 的任一解.因 (1)与(2)的后 s - 1 个方程是一样的,所以(c1, c2, , cn) 满足 (2) 的后 s - 1 个方程.又 (c1, c2, , cn) 满足a11c1 + a12c2 + + a1ncn = b1 ,a21c1 + a22c2 + + a2ncn = b2 .把第二式的两边乘以 k,再与第一式相加,即为(a11+ka21)c1+(a12+ka22)c2+(a1n+ka2n)cn = b1+kb2 故
4、 (c1, c2, , cn) 又满足 (2) 的第一个方程,因而是(2) 的解.类似地可证 (2) 的任一解也是 (1) 的解.这就证明了 (1) 与 (2) 是同解的. 证毕证毕(1) 的前两个方程3 3 用消元法解一般线性方程组用消元法解一般线性方程组对于方程组 (1) ,首先检查 x1 的系数.如果 x1的系数全为零,那么方程组 (1) 对 x1 没有任何限制,x1 就可以取任意值,而方程组 (1) 可以看作 x2,xn的方程组来解.如果x1 的系数不全为零,那么利用初等变换 (3)(3) ,可以设 a11 0.利用初等变换 (2)(2),分别地把第一个方程的倍加到第 i 个方程(i = 2, , s).于是方程组 (1) 就变成其中这样,解方程组 (1) 的问题就归结为解方程组的问题.显然,(4) 的一个解,代入 (3) 的第一个方程就定出 x1 的值,这就得出 (3) 的一个解;而 (3) 的解显然都是 (4) 的解.这就是说,方程组方程组 (3) (3) 有解有解的充分必要条件为方程组的充分必要条件为方程组 (4) (4) 有解,而有解,而 (3) (3) 与与 (1)
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