【试卷】2017年湖北省武汉一中自主招生数学试卷（含答案和解析）

1、第 1 页（共 27 页）2017 年湖北省武汉一中自主招生数学试卷年湖北省武汉一中自主招生数学试卷一、选择题一、选择题1如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（  ）A7 个B8 个C9 个 D10 个2已知关于 x 的方程有正根，则实数 a 的取值范围是（  ）Aa0 且 a3Ba0Ca3Da3 且 a33O 内有一定点 G，OG=5cm，O 的半径为 13cm，则过 G 点的所有弦中，长度为整数的弦共有（  ）条A2B3C4D无数4如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm2，则该半圆的半径为（  ）Acm B9cm Ccm Dcm5若，则的值等于（  ）ABCD或6如图，正方形 OPQR 内接于ABC已知AOR、BOP 和CRQ 的面积分别是 S1=1，S2=3 和 S3=1，那么，正方形 OPQR 的边长是（  ）第 2 页（共 27 页）ABC2D37如图，矩形 ABCG（ABBC）与矩形 CDEF 全等，点 B，C，D 在同一条直线上，AP

2、E 的顶点 P 在线段 BD 上移动，使APE 为直角的点 P 的个数是（  ）A0B1C2D38一项“过关游戏”规定：在第 n 关要掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关；否则，不算过关，现有下列说法：过第一关是必然事件；过第二关的概率是；可以过第四关；过第五关的概率大于零其中，正确说法的个数为（  ）A4B3C2D1二、填空题二、填空题9如图，有一个圆形展厅，在其圆形边缘上的点 A 处安装了一台监视器，它的监控角度是 40为了监控整个展厅，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器     台第 3 页（共 27 页）10如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0） ， （2，0） ， （2，1） ， （3，2） ， （3，1） ， （3，0） （4，0）根据这个规律探索可得，第 100 个点的坐标为     11如图，已知二次函数 y1=ax2+bx+c（a0）与一次函数 y2=kx+m（k0）的图象相交于点 A（2，4） ，B（8，2） ，则关于 x 的不等

3、式 ax2+（bk）x+cm0的解集是     12在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（3，0） 、（0，4） ，则AOB 的内心与外心之间的距离是     13在直角坐标系中，O 是坐标原点，正方形 OABC 的顶点 A 恰好落在双曲线（x0）上，且 OA 与 x 轴正方向的夹角为 30则正方形 OABC 的面积是     14如果函数 y=（a2）x22（a2）x+a 的图象在 x 轴的上方，则实数 a 的取值范围是     15如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC（BCAD） ，D=90，BC=CD=12，ABE=45，若 AE=10，则 CE 的长为     第 4 页（共 27 页）16如图，半径为 2cm，圆心角为 90的扇形 OAB 的上有一运动的点 P从点 P 向半径 OA 引垂线 PH 交 OA 于点 H设OPH 的内心为 I，当点 P 在上从点 A 运动到点 B 时，内心 I 所经过的路径长为     三、解答题三、解

4、答题17 （1）点（0，2）绕坐标原点顺时针旋转 90得到的点的坐标是     ；（2）已知直线 l1：y=2x4 分别与 x 轴、y 轴相交于 A、B 两点，直线 l1绕点 B 顺时针旋转 90得到直线 l2，则直线 l2的解析式为     ；（3）若（2）中直线 l1绕点 M（1，0）顺时针旋转 90得到直线 l3，求直线 l3的解析式18设关于 x 的一次函数 y=a1x+b1与 y=a2x+b2，则称函数 y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2） （其中 m+n=1）为此两个函数的生成函数（1）当 x=1 时，求函数 y=x+1 与 y=2x 的生成函数的值；（2）若函数 y=a1x+b1与 y=a2x+b2的图象的交点为 P，判断点 P 是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由19如图 1，在直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形 AOBC 的边 AC、BC 分别相交于点 E、F，且点 C 坐标为（4，3） ，将CEF 沿 EF 对折后，C 点恰好落在 OB 上（1）求 k 的值；第 5 页（共 27 页）（2）如图 2，在直角坐

5、标系中，P 点坐标为（2，3） ，请在双曲线上找两点M、N，使四边形 OPMN 是平行四边形，求 M、N 的坐标20如图 1，在ABC 中，AB=AC，A=90，O 为 BC 的中点，动点 E、F 分别在边 AB、AC 上，且EOF=45（1）猜想线段 AE、EF、CF 之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图 2，若以 O 为圆心的圆与 AB 相切，试探究直线 EF 与O 的位置关系，并证明你的结论21如图 1，一张三角形纸片 ABC，ACB=90，AC=8，BC=6沿斜边 AB 的中线 CD 把这张纸片剪成AC1D1和BC2D2两个三角形（如图 2） ，将纸片AC1D1沿直线 D2B（AB）方向平移（点 A、D1、D2、B 始终在同一直线上） ，当点 D1与点 B 重合时，停止平移在平移过程中，C1D1与 BC2交于点 E，AC1与C2D2、BC2分别交于点 F、P（1）当AC1D1平移到如图 3 所示的位置时，猜想图中的 D1E 与 D2F 的数量关系，并证明你的猜想；（2）设平移距离 D2D1为 x，AC1D1与BC2D2重叠部分面积为 y，请写出 y 与x 的函数关系式，并

6、求出函数 y 的最值第 6 页（共 27 页）22抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点，0） 、，0） ，它与 y 轴相交于点 C，且ACB90，设该抛物线的顶点为 D，BCD 的边 CD 上的高为 h（1）求实数 a 的取值范围；（2）求高 h 的取值范围；（3）当（1）的实数 a 取得最大值时，求此时BCD 外接圆的半径第 7 页（共 27 页）2017 年湖北省武汉一中自主招生数学试卷年湖北省武汉一中自主招生数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题一、选择题1如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（  ）A7 个B8 个C9 个 D10 个【解答】解：综合三视图，第一行第 1 列有 3 个，第一行第 2 列有 1 个，第一行第 3 列有 2 个；第二行第 1 列有 1 个，第二行第 2 列没有，第二行第 3 列有 1 个；第三行第 1 列没有，第三行第 2 列没有，第三行第 3 列有 1 个；一共有：3+1+2+1+1+1=9 个，故选 C2已知关于 x 的方程有正根，则实数 a 的取值范围是（ &

7、nbsp;）Aa0 且 a3Ba0Ca3Da3 且 a3【解答】解：去分母得：x+a=x+3即 2x=3a解得 x=根据题意得：0解得：a3x30，x3，即3，第 8 页（共 27 页）解得 a3，a3 且 a3故选：D3O 内有一定点 G，OG=5cm，O 的半径为 13cm，则过 G 点的所有弦中，长度为整数的弦共有（  ）条A2B3C4D无数【解答】解：如图示，作 ABOG 于 G，AG=BG，在 RtAOP 中，OG=5，OA=13，AG=，AB=24，故过点 G 的弦的长度在 24 和 26 之间，弦为 25 的有 2 条，还有直径 1 条，所以过点 G 的弦中长度为整数的弦的条数为 4故选：C4如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm2，则该半圆的半径为（  ）Acm B9cm Ccm Dcm【解答】解：如图，圆心为 A，设大正方形的边长为 2x，圆的半径为 R，根据对称性可知 AE=BC=x，CE=2x；小正方形的面积为 16cm2，第 9 页（共 27 页）小正方形的边长 EF=DF=4，由勾股定理得，R2=AE2+CE2=A

8、F2+DF2，即 x2+4x2=（x+4）2+42，解得，x=4 或2（舍去） ，R=cm故选：C5若，则的值等于（  ）ABCD或【解答】解：，x2x=x（x1） ，=，=1，=，=，故选：A6如图，正方形 OPQR 内接于ABC已知AOR、BOP 和CRQ 的面积分别是 S1=1，S2=3 和 S3=1，那么，正方形 OPQR 的边长是（  ）第 10 页（共 27 页）ABC2D3【解答】解：设正方形 OPQR 的边长为 x，则ABC 的面积为：x2+3+1+1=x2+5，三角形高为正方形 OPQR 的边长 x 加上AOR 的高，即+x，底为：BP+x+QC，由 S2=3 和 S3=1 得，BP=，QC=，则底为：+x+，所以 x2+5=（+x+） （+x），解得 x=2故选：C7如图，矩形 ABCG（ABBC）与矩形 CDEF 全等，点 B，C，D 在同一条直线上，APE 的顶点 P 在线段 BD 上移动，使APE 为直角的点 P 的个数是（  ）A0B1C2D3【解答】解：设两个矩形的长是 a，宽是 b连接 AE，如图在AEQ 中，根据勾股定理可

9、得：AE=；第 11 页（共 27 页）过 AE 的中点 M 作 MNBD 于点 N则 MN 是梯形 ABDE 的中位线，则 MN=（a+b） ；以 AE 为直径的圆，半径是，（a+b）=a+b，而只有 a=b 是等号才成立，因而（a+b），即圆与直线 BD 相交，则直角顶点 P 的位置有两个故选：C8一项“过关游戏”规定：在第 n 关要掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关；否则，不算过关，现有下列说法：过第一关是必然事件；过第二关的概率是；可以过第四关；过第五关的概率大于零其中，正确说法的个数为（  ）A4B3C2D1【解答】解：过第一关时，即掷一次骰子，得到一个数，这个数一定大于或等于 1，因而一定大于，则过第一关是必然事件，正确；过第二关即掷二次骰子，就得到 66=36 个结果，每个结果出现的机会相同，这 36 个结果中和大于的有 35 个，则过第二关的概率是；第 12 页（共 27 页）过第四关结果中和为，因而，可以过第四关；过第五关结果中和为，因而，一定不能过第五关，即过第五关的概率等于 0；正确说法的个数有 3 个故选：B二、填空题二、填空题9如图，有一个圆形展厅，在其圆形边缘上的点 A 处安装了一台监视器，它的监控角度是 40为了监控整个展厅，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 5 台【解答】解：A=40，该圆周角所对的弧所对的圆心角是 80，共需安装 360805故答案为 510如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0） ， （2，0） ， （2，1） ， （3，2） ， （3，1） ， （3，0） （4，0）根据这个规律探索可得，第 100 个点的坐标为 （14，8） 【解答】解：因为 1+2+3+13=91，所以第 91 个点的坐标为（13，12） 因为在第 14 行点的走向为向上，故第 100 个点在此行上，横坐标就为 14，纵第 13 页（共 27 页）坐标为从第 92 个点向上数 8 个点，即为 8；故第 100 个点的坐标

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