四年级数学《等差数列》教师版

1、1四年级四年级等差数列等差数列教师版教师版知识要点知识要点一、一、按照一定次序排列的一列数叫数列。按照一定次序排列的一列数叫数列。 二、二、数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第 项（或首项）项（或首项） 、第、第1 项、第项、第 项、项、第、第项、项、23n三、三、数列的一般形式可以写成：数列的一般形式可以写成：、；其中；其中是数列的第是数列的第项；这个项；这个1a2a3ananan数列可以简记作数列可以简记作（为正整数）为正整数） 。nan四、四、项数有限的数列叫做有穷数列，有穷数列的最后一项叫做这个数列的末项。项数有限的数列叫做有穷数列，有穷数列的最后一项叫做这个数列的末项。 五、五、项数无穷的数列叫做无穷数列。项数无穷的数列叫做无穷数列。六、六、如果一个数列如果一个数列，从第，从第项起的每一项项起的每一项与它的前一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数的差等于同一个常数，这个数na2na1na列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公

2、差通常用表示。表示。d七、七、等差数列的通项公式：等差数列等差数列的通项公式：等差数列中，第中，第项项首项首项（项数（项数）公差，即公差，即nan1（为正整数）为正整数）11(1)()naanddnadn八、八、项数公式：项数项数公式：项数（末项（末项首项）首项）公差公差，即，即（为正整数）为正整数）11()1nnaadn九、九、求和公式：等差数列求和公式：等差数列中，和中，和（首项（首项末项）末项）项数项数，即，即na2（为正整数）为正整数）21 11()(1)()2222n naannndddSannann十、十、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，中间一项的值等于所有项的平均数，na也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数，即也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数，即当当为正奇数时，为正奇数时，n121 1 22nnn naaaSaaann1 2nnSan十一、十一、（为正整数）为正整数）(1)123(1)2nnnnn十二、十二、（为正整数）为正整数

3、）2135(23)(21)nnnn十三、十三、（为正整数）为正整数）2123(1)(1)321nnnn n2基础知识基础知识【例例 1】 判断下面的数列中，哪些是等差数列？如果是，请指明公差；如果不是，请说明判断下面的数列中，哪些是等差数列？如果是，请指明公差；如果不是，请说明 理由。理由。 数列一：数列一：、；610141822 数列二：数列二： 、 、 、；121234599100 数列三：数列三： 、 、；1248163264 数列四：数列四：、 、 、 ；987654321 数列五：数列五：、；2010201020102010201020102010 数列六：数列六： 、 、 、 、 ；101010101 数列七：数列七：、。112437179192205【分析】数列一是等差数列，公差为；4因为，即；所以数列二不是等差数列；2112 2132aaaa因为，即；所以数列三不是等差数列；2142 2132aaaa数列四是等差数列，公差为；1 数列五是等差数列，公差为；0因为，即；所以数列六不是等差数列；0110 2132aaaa假设数列七是等差数列，则公差为，241113 因为，所

4、以原假设数列七是等差数列不成立，所以数列七不是等差数1317911 列。【例例 2】2】 判断下列命题是否正确？判断下列命题是否正确？命题一：如果数列命题一：如果数列为等差数列，那么数列为等差数列，那么数列为等差数列。为等差数列。 （）na21ka, n kZ Z3命题二：如果数列命题二：如果数列为等差数列，那么数列为等差数列，那么数列为等差数列。为等差数列。 （）na2ka, n kZ Z命题三：如果数列命题三：如果数列中，中，、均为等差数列，那么数列均为等差数列，那么数列为等差数为等差数na21ka2kana列。列。 （）, n kZ Z命题四：如果数列命题四：如果数列为等差数列，那么数列为等差数列，那么数列为等差数列。为等差数列。namk la（，、 为常数，为常数，, ,n k m lZ Zml且且）mk【分析】命题一为真命题。若等差数列的公差为，则数列是公差为等差数nad21ka2d列。命题二为真命题。若等差数列的公差为，则数列是公差为等差数nad2ka2d列。 命题三为假命题。数列、 、 、，214365 奇数项为、是等差数列，偶数项为 、 、是等差数列，但原数列不是246

5、135 等差数列。命题四为真命题。若等差数列的公差为，则数列是公差为等差数nad2kamd列。简单计算简单计算 【例例 3】 （年第六届年第六届“走进美妙的数学花园走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能中国青少年数学论坛趣味数学解题技能2008 展示大赛四年级初赛）展示大赛四年级初赛） 。(123200720082007321)2008【分析】2(123200720082007321)2008200820082008 【例例 4】 计算：计算： 1.13.35.57.79.911.11 13.13 15.1517.1719.19 【分析】原式5.5 515.15 5 5.515.15520.565103.25一一【例例 5】 计算计算_1231990 1990199019901990【考点】等差数列计算题 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】原式1231990 19904(1 1990) 19902 199019952【例例 6】 计算：计算：200920082007200620052004200320025432【分析】20092008200720062005200

6、4200320025432 2009(2008200720062005)(2004200320022001)(4321)1200900012008 【例例 7】 计算：计算：。1000999998997996995106105104103 102101 【分析】（方法一） 1000999998997996995106105104103 102101 (1000997106103)(999996105102)(998995104101)(1031000) (1000103)31(102999) (999102)31 22(101998) (998101)31 21103 3001101 3001099300300(11031101 1099)1105 1501657502222（方法二） 1000999998997996995106105104103 102101 (1000999998997996995106105104103102101) (998995104101)2(101 1000) (1000101)1 1(101998) (998101)31222 495450329700

7、165750 （方法三） 1000999998997996995106105104103 102101 1000(999998)997(996995)106(105104)103(102101)30011000199711061 1031(1000997106103)(1 11 1) 一(1031000) (1000103)311 3001654503001657502 【例例 8】 （年吉林省年吉林省“金翅杯金翅杯”竞赛）竞赛）个连续自然数的和是个连续自然数的和是，求这，求这个数。个数。19955355 【分析】（方法一）设这个连续自然数中最小的数为（） ，5nnN N这个连续自然数的和为；5(1)(2)(3)(4)51035nnnnnn所以这个连续自然数中最小的数；5(3510)55n 5所以这个连续自然数从小到大依次为、 、。556789 （方法二）中间数（从小到大第 个数）为；33557 所以这个连续自然数从小到大依次为、 、。556789【例例 9】 （年浙江省夏令营试题）年浙江省夏令营试题）个连续偶数的和是个连续偶数的和是，求这，求这个连续偶数中个连续偶数中20061720

8、0617 最小的是多少？最小的是多少？ 【分析】中间数（从小到大第个数）为92006 17118所以这个连续偶数中最小的是。17118(91)2102【例例 10】（ ）个连续的偶数中，第个连续的偶数中，第个数与第个数与第个数的和是个数的和是，求最小的偶数。，求最小的偶数。172636 （） （年江西省婺源县竞赛）年江西省婺源县竞赛）个连续自然数的和是个连续自然数的和是，中间，中间220026261 个数的和是多少？个数的和是多少？2 【分析】（ ）中间数（从小到大第个数）为；所以最小的偶数为1436218 18(41)212（）中间个数的和为222616287 【例例 11】11】在在这这个自然数中，所有能被个自然数中，所有能被整除的自然数的和是多少？整除的自然数的和是多少？11001009 【分析】在这个自然数中，能被整除的自然数依次为、1100100991827 、，9899(999) (999)919182798995942 即在这个自然数中，所有能被整除的自然数的和为。11001009594【例例 12】在不大于在不大于自然数中，所有不能被自然数中，所有不能被整除的自然数的和是多少？整除的自然数的和是多少？1009 【分析】在不大于的自然书中，能被整除的自然数依次为、1009091827 、，9899(099) (990)9109182798995942 (0100) (1000)1 10123989910050502 所以在不大于的自然数中，所有不能被整除的自然数的和为1009 。505

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