医学高等数学期末复习

1、高等数学期末复习高等数学期末复习函数的性质： 有界性 单调性 奇偶性 周期性例：例：y y=sin=sinx x x x-1,2-1,2非奇非偶函数非奇非偶函数例：例：y y=sin=sinx x x x-1,1-1,1奇函数奇函数【注意注意】奇偶性是相对于奇偶性是相对于定义域定义域而言的。而言的。判断奇偶性时定义域必须判断奇偶性时定义域必须关于原点对称关于原点对称。 复合函数复合函数例. 复合的条件是什么？复合的条件是什么？例： 设 求例. 解:它是由以下几个函数复合而成:复合函数的分解复合函数的分解 P29(3.8)例1(消去零因子法)例2(无穷小因子分出法) P29(3.7/3.10/3.9)例1函数的连续性定义定义1.1. 设设f f ( (x x) )在在x x0 0的某邻域的某邻域U(U(x x0 0) )内有定义内有定义. .则称则称f f ( (x x) )在在x x0 0连续连续, , x x0 0称为称为f f ( (x x) )的连续点的连续点. .包含的条件：包含的条件： f f ( (x x) )在在x x0 0处有定义；处有定义； f f ( (x x) )

2、在在x x0 0的极限存在；的极限存在； f f ( (x x) )在在x x0 0的极限值等于的极限值等于f f ( (x x) )在在x x0 0的函数值。的函数值。例例f f ( (x x) )在在x=x=0 0连续连续. .问问a a为何值时为何值时, , 函数函数f f ( (x x) )在在x x0 0处连续就一定在在处连续就一定在在x x0 0处有极处有极限吗？限吗？连续与极限的关系连续与极限的关系 函数函数f f ( (x x) )在在x x0 0处有极限就一定在在处有极限就一定在在x x0 0处连处连续吗？续吗？ 初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数 在在定义区间定义区间内内 连续连续例如例如, ,的连续区间为的连续区间为( (端点为单侧连续端点为单侧连续) )注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意 2. 初等函数求极限的方法

3、代入法.一、导数的定义定义1. 设函数在点存在,并称此极限为记作:则称函数若的某邻域内有定义 , 在点处可导, 在点的导数. 等价形式：如果改写成：如果改写成：定理. 函数在点且可导的充分必要条件是应用情境：主要用于分段函数在分段点处的可应用情境：主要用于分段函数在分段点处的可 导性判断。导性判断。例二、隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数 ,由表示的函数 , 称为显函数 .例如,可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .函数为隐函数 .则称此隐函数求导方法: 两边对 x 求导(含导数 的方程)三、对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数, , 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导 方法求出导数方法求出导数.目的是利用对数的性质简化目的是利用对数的性质简化 求导运算。求导运算。-对数求导法适用范围:课本例例解等式两边取对数得极限极限连续连续导数导数极限、连续与可导的关系极限、连续与可导的关系定理 如果函数 及 都在点 具 有导数，则 (1) (2) (3) 微分微分P68(3.4)二、二、LHospitalLHospital法

4、则法则未定式利用这一法则，可以直接求这两种等其它类型的未定式的极限。基本未定式的极限，也可间接求出函数之商的极限函数之商的极限导数之商的极限导数之商的极限转化转化( ( 或或 型型) )本小节研究本小节研究: :洛必达法则洛必达法则1 1、存在存在 ( (或为或为 ) )定理定理 1. 1.型未定式型未定式( (洛必达法则洛必达法则) ) 推论. 定理 1 中换为例1. 求2 2、型未定式型未定式存在存在 ( (或为或为 ) )定理定理 2. 2.( (洛必达法则洛必达法则) )内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则令令取对数取对数三、单调性与极值三、单调性与极值步骤:例解2 2、函数的最值、函数的最值(1).(1).求驻点和不可导点求驻点和不可导点; ;(2).(2).求区间求区间端点端点及及驻点驻点和和不可导点不可导点的函数值的函数值, , 比较大小比较大小, ,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值, ,那个小那个那个小那个 就是最小值就是最小值; ;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值, ,则这个极值就则这个极值就 是最值是最值.( .(最大值或最小值最大

5、值或最小值) )例解得驻点这些点处的函数值为：比较以上各点处的函数值即可。步骤:一元积分学微分微分不定不定 积分积分定积分定积分极限极限导数导数积分上限函数积分上限函数一、不定积分不定积分的定义：不定积分的计算方法vv换元法换元法凑微分法凑微分法三角代换法三角代换法根式代换根式代换vv不定积分法不定积分法vv有理函数积分法有理函数积分法例 求解说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.凑微分法：凑微分法：例 求解说明当被积函数是三角函数相乘时，如果是 偶次项，需要进行降阶处理。三角代换法：三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令注意：所作代换的单调性。对三角代换而言， 掌握着取单调区间即可。例 求解 令例 求（三角代换很繁琐）解令倒代换法：倒代换法：当分母的阶较高时, 可采用倒代换例 求解令根式代换根式代换 ：当被积函数含有两种或两种以上的 根式 时，可采用令 （ 其中 为各根指数的最小公倍数） 例 求解令分部积分公式选择 u、v 的有效方法:ILAET选择法I-反三角函数；L-对数函数； A-幂函数；E-指数函数；T-三角函数； 哪个在前哪个

6、选作u. 反、对、幂、指、三角排序在后者优先进入积分号分部积分法分部积分法一些特殊的极限应用一些特殊的极限应用vv例例1 1：vv例例2 2：vv例例3 3：二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线对 y 轴的一元复合函数求导法则一、多元复合函数求导的链式法则4.3.1多元复合函数的求导法则 4.3.1、多元复合函数求导法则定理3. 若函数处有连续偏导数,则复合函数偏导数，推广: 设下面所涉及的函数都可微 .1) 中间变量是一元函数的情形.例如,2) 中间变量多于两个的情形. 例如,又如,当它们都具有可微条件时, 有注意: 这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导与不同,例17. 设解:例18. 设 求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.例19.解:P163(3.1/4.1/4.2).2.一阶微分方程F(x, y, y)=0， y=f (x, y)1. 变量可分离方程解法：分离变量法2. 齐次方程(x+y)dx+xdy=0 (yx)dx+(x+y)dy=0 (xyy2)dx+(x22xy)dy=0 解法：令即 y=ux则有从而变量可分离：换元法解1. 解方程解：令即 y=ux, 则 即分离变量得积分得回代得1.可降阶的高阶方程二阶方程F(x, y, y, y)=0y = f (x, y, y)1. 直接积分型: y = f (x)解法:例1. 解方程解:推广：y(n)=f(x)2. 不显含y型:解法:令 y=p, 则则设其通解为p= (x, C1)则故得例2. 解方程 xy=y解:分离变量：积分得： lnp=lnx+lnC1所以 p=C1x或解得令y=p, 则例3. 解方程(1+x2)y2xy=0解：令y=p, 则分离变量积分得 ln|p|=ln(1+x2)+lnC所以 p=C1(1+x2)即解得3. 不显含x型：解法： 令y=p, 有代入方程得y=f (y, y)设其通解 p= (y, C1)则分离变量并积分得例4.解方程 2yy+y2=0解：设y=p, 则分离变量有积分得故即再分离变量或即即再分离变量或即

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