高中教师培训合情推理1

1、 高中教材中的合情推理方法 陈翠花主要内容一、合情推理的由来二、合情推理概念 三、研究合情推理的意义 四、合情推理方法 五、合情推理举例 六、合情推理与演绎推理的关系一、合情推理的由来 “合情推理”（即猜想）又称为似真推理。这 是一种合乎情理的、好像为真的推理。它 是美籍数学家、数学教育家乔治波利亚的 一个重大发现。美籍匈牙利数学家（18871985 ）. 青年时期曾在布达佩斯、维也 纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学 、物理和哲学，获博士学位. 1942年起任美国斯坦福大学教授 。一生发表达200多篇论文和许 多专著，在实变函数、复变函数 、概率论、数论，几何和微分方 程等若干分支领域都做出了开创 性的贡献。 他曾对数学史及诸多数学巨人（如 欧几里得、阿基米德、R笛卡儿 、CF高斯、欧拉的论文进行了 深入研究，剖析了他们发现定理及 证明的认识过程，领悟他们的思想 方法.在这一过程中，波利亚越来 越发现“合情推理”的重要.鉴于这种 认识，波利亚于20世纪五十年代 先后在一些重要杂志以及著作中倡 导这一思想，力推合情推理. 第一卷第二卷1953年著名数学家瓦尔登 1952年2月2日在 瑞士苏黎

2、世大学 的会议致词中说 ： “每个大学生，每个 学者，特别是每 个老师都应该读 读这本引人入胜 的书”。 主要讲解思考方法， 思维路线，通过一些 简单典型的例子，找 到它们共同的特征， 提炼出思考所遵循的 路径，引导读者学习 如何去思考问题，分 析问题， 他在数学与猜想中比较系 统地研究了合情推理的多种模 式，并且详细论述了归纳、类 比方法.在怎样解题、数 学的发现著作中对特殊化、 一般化、类比联想等在解决问 题思维过程中的作用也做了细 致生动的论述. 波利亚曾向所有的数学教师大声呼吁：让我 们教猜想吧！ 自波利亚提出合情推理的概念，并系统论 述了合情推理的几种模式后，在第八届国 际数学教育大会上，对波利亚建立的合情推理 模式以及观察、猜想、实验、类比、归纳、化 归等方法在数学发现和创新中所起的作用给予 极高的评价，形成广泛的共识。合情推理方 法受到数学教育界越来越多的关注. 美国1989年颁布了关于数学教育的未来 致国民的一份报告，阐述了将合情推理 方法渗透到各学段的数学课堂教学的问题 ，提倡运用合情推理方法让学生去发现和 探索新问题，认为合情推理是培养学生数 学创新能力的重要工具，

3、因此鼓励学生和 教师运用合情推理的思想方法.倡“合情推理 ”、教“猜想”一时风靡全球.匈牙利上世纪九十年代的国家课程就大力 倡导教猜想的方法、展示猜想的过程，呼 吁要增强对学生的数学合情推理的意识、 教师教学中运用合情推理方法的意识.在 教材内容的呈现形式上，各个知识领域都 体现有合情推理方法的渗透. 我国新一轮的课程改革第一次将合 情推理写进全日制义务教育数学 课程标准(实验稿)后，各种版本的 初中数学教材中，出现了大量的、 丰富的合情推理素材. 二、合情推理概念合情推理是根据已有的事实和正 确的结论（包括定义、公理、定理等 ）、实验和实践的结果，以及个人的 经验和直觉等推测某些结果的推理过 程。归纳、类比是合情推理常用的思 维方法。高中数学课 程标准的定 义 三、研究合情推理的意义1.合情推理对数学自身发展的意义波利亚说：数学被看作是一门论证科 学，这仅仅是它的一个方面。数学的创 造过程与任何其他知识的创造过程一样, 在证明一个定理之前, 先得猜想、发现出 这个定理的内容, 在完全作出证明之前, 先得不断检验、完善、修改所提出的猜 想, 还得推测证明的思路, 把观察到的结 果加以综

4、合, 然后加以类比, 一次又一次 地进行尝试。在这一系列的过程中, 需要 充分运用的不是论证推理, 而是合情推理 。物理学家的归纳推理、律师的案情 推理、历史学家的史料论证和经济学 家的统计论证都属于合情推理之列。 波利亚说：“数学家的创造性工作成果 是论证推理，即证明，但是这个证明 是通过合情推理，通过猜想而发现的 。”牛顿说： “没有大胆的猜测 ，就作不出伟大的发现。” 哥德巴赫猜想 哥德巴赫（1690.3.181764.11.20）是德国数 学家；在1742年6月7日给欧拉的信中，在教 学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数 之和。如 633，8=3+5，10=3+7=5+5，1257 14=7+7=11+3 16=5+11=13+3100=97+3 ，102=97+5等等。欧拉在6月30日给他的回 信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能 证明。 1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9”。1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2

5、 + 366”。 1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。 1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。 1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”，其中c是一很大 的自然数。1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。 1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， 中国的王元证明了“1 + 4”。 1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及意 大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。 他的成果被称为“陈 氏定理”。自“陈氏 定理”诞生至今，人 们对哥德巴赫猜想 的进一步研究，均 劳而无功。 世界级的数学大师、 美国学者安德烈韦 伊曾这样称赞他：“ 陈景润的每一项工 作，都好像是在喜 马拉雅山巅上行走 。”陈景润1933-1996 陈景润在中学读书时，有幸聆听了清华大学调来的 一名数学教师沈元讲课。他给同学们讲了一道世界 数学难题：“大约在200年前，一位名叫哥德巴赫的 德国数学家提出了任何一个大于2的偶数均可表示两 个素数之和，

6、简称11。他证明不出来，便给欧拉 写信，请他帮助证明。欧拉接到信后，费尽了脑筋 ，直到离开人世，也没证明出来。之后，哥德巴赫 带着一生的遗憾也离开了人世，却留下了这道数学 难题。200多年来，这个哥德巴赫猜想之谜吸引了众 多的数学家，从而使它成为世界数学界一大悬案”。 老师讲到这里还打了一个有趣的比喻，数学是自然 科学皇后，“哥德巴赫猜想”则是皇后王冠上的明珠！ 这引人入胜的故事给陈景润留下了深刻的印象，“哥 德巴赫猜想”像磁石一般吸引着陈景润。从此，陈景 润开始了摘取数学皇冠上的明珠的艰辛历程 费马猜想当整数n 2时，关 于x, y, z的不定方程无整数解。费马1637年，法国数学家费马在丢番图的算 术一书旁边写的。我已发现一种美妙的证 法，可惜这里空白的地方太小，写不下。费 马去世后，人们找不到这个猜想的证明，由 此激发起许多数学家的兴趣。欧拉、勒让德 、高斯、阿贝尔、狄利克雷、柯西等大数学 家都试证过，但谁也没成功。一直被称为“费 马猜想”，直到1995年英国数学家安德鲁怀尔 斯及其学生理查泰勒证明后，才称为“费马大 定理”。 费马大定理的证明者安德鲁怀尔斯怀尔斯10岁就被“ 费

7、马猜想”吸引 “我永远不会放 弃它，我必须解决 它”。经过8年的孤军奋 战，用130页长的 篇幅证明了费马大 定理 费马通过对勾股定理的研究 大胆的猜出费马猜想。在长 达几个世纪的探索中, 数学家 们的创造过程都蕴含着合情 推理。合情推理促进了数学 的发展。2.合情推理对学生发展的意义合情推理的实质是“发现”，所以培养学生的合 情推理能力有助于发展学生的创新精神。波利 亚反复呼吁: 只要我们能承认数学创造过程中需 要合情推理、需要猜想的话, 数学教学中就必须 有教猜想的地方, 必须为发明做准备, 或至少给 一点发明的尝试。虽然论证推理是数学的特殊 标志,学生应当掌握, 但是, 合情推理是数学创造 工作赖以进行的必需技能, 为了在数学上取得真 正的成就, 就得掌握合情推理。对于一般学生或 以数学为业余爱好的学生, 也必须学习和体验合 情推理。3 合情推理对教学的意义数学教育中注重 创新教育已成为国 际数学教育的主流, 学生的合情推理能 力与其创新能力密 切相关。在高中 数学课程标准中, 对学生合情推理 的 具体要求是:高中阶段结合已学过的数学实例和 生活中的实例，了解合情推理的含 义，能

8、利用归纳和类比等进行简单 的推理，体会并认识合情推理在数 学发现中的作用. 合情推理贯穿于小学、初中、高中 数学的各个阶段，它是新课标教材 的一个亮点，这在我国基础教育数 学课程中还是首次其他学段对合情推理的要求在第一学段的数学思考目标中就明 确提出“在教师的帮助下，初步学会选择有 用信息进行简单的归纳与类比。在情感与态度目标中指出：经历观 察、操作、归纳等学习数学的过程，感受 数学思考过程的合理性. 和阐述合情推理过 程的能力”。第二学段数学思考目标中就明确提 出：能根据解决问题的需要，收集有用 的信息，进行归纳、类比与猜测，发展 初步的合情推理能力。 在情感与态度目标中指出：通过观 察、操作、归纳、类比、推断等数学活 动，体验数学问题的探索性和挑战性， 感受数学思考过程的条理性和数学结论 的确定性。第三学段数学思考目标中就 明确提出：能收集、选择、处理 数学信息，并作出合理的推断或 大胆的猜想.能用实例对一些数学 猜想作出检验，从而增加猜想的 可信程度或推翻猜想。 情感与态度目标指出：认识 通过观察、实验、归纳、类比、 推断可以获得数学猜想，体验数 学活动充满着探索性和创造性。4、

9、合情推理有助于学习方式的改变课标认为:“有效的数学学习活动不能 单纯依赖模仿与记忆。动手实践、自主探索、 合作交流是学生学习数学的重要方式.数学学 习过程应当充满着观察、实验、模拟、推断 等探索性与挑战性活动.”传统的数学课程“重结果，轻过程;重证 明，轻猜想”.学生的学习不是靠传授灌输， 而是在自主参与的活动中“领悟”、体验出来 的.这种重概念的形成过程、结论的发现过程 、解题思路的产生过程，都离不开合情推理.四、合情推理方法 （归纳） 从前，有个财主给儿子找了个老师，第一天老师划了一 横，说这是 “一”字，第二天老师划了两横，说这是 “二” 字，到了第三天，儿子想今天老师一定会教“三”字，就 预先在纸上划了三横，果然这天先生划了三横，说这是 “三”字。于是财主儿子就得出了一个结论：第四天、第 五天、那一定是四横、五横儿子说：“爸爸， 用不着请老师了，我什么都会了。” 财主很高兴，就把 老师给辞退了。过了几天，财主要请一个姓万的亲戚吃 饭，就叫儿子写请贴，可是等了半天，也不见儿子出来 ，财主就亲自到房间去催，只见儿子趴在地上，满头大 汗，一见到爸爸就抱怨说：“姓啥不好，干么姓万，从 大清早到现在，我才划了五百多横呢？”观察人们通过对几只乌鸦的观察发现天下乌鸦一般 黑呀！猜想（归纳） 633， 1257， 14=7+7=11+3， 16=5+11=13+3， 20=17+3=13+7任何一个不小 于6的偶数都 等于两个 奇数之和这种由某类事 物的部分对象具 有某些特征，推 出该类事物的全 部对象都具有这 些特征的推理.或 者由个别事实概 括出一般结论的 推理叫归纳推理 ，简称归纳归纳推理是由 特殊到一般或 由部分到整体归纳推理过程的本质特征： 虽然考察的只是若干个别的 对象，但是结论却可以超出 被考察的局部小范围.被考察 的若干个体之间的共性就是 归纳出结论的基础 1640年，费马对形如计算时，发现+1直至1732年,欧拉算出n=5时， 6416700417,不是质数,否定了费马的 结论.至今这样的反例共找到了46个,却 还没有找到第6个正面的例子,

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