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人教版数学必修一高考总复习三角函数与解三角形试题全套

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    • 1、人教版数学必修一人教版数学必修一 三三角函数复习资料角函数复习资料姓 名: 院 、 系: 数学学院数学学院 专 业: 数学与应用数学数学与应用数学 第 1 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲1了解任意角的概念;了解弧度制的概念2能进行弧度与角度的互化3理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知 识 梳 理1角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类Error!Error!(3)终边相同的角:所有与角 终边相同的角,连同角 在内,可构成一个集合 S|k360,kZ2弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角弧度记作rad.(2)公式:角 的弧度数公式| (弧长用 l 表示)lr角度与弧度的换算1rad 1 rad180(180)弧长公式弧长 l|r扇形面积公式S lr |r212123.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么定义y 叫做 的正弦,记作sin x 叫做 的余弦,记作 cos 叫做 的正切,yx记作

      2、tan 各象限符号口诀全正,正弦,正切,余弦三角函数线有向线段 MP 为正弦线有向线段 OM 为余弦线有向线段 AT 为正切线辨 析 感 悟1对角的概念的认识(1)小于 90的角是锐角()(2)锐角是第一象限角,反之亦然()(3)将表的分针拨快 5 分钟,则分针转过的角度是 30.()(4)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等()2任意角的三角函数定义的理解(5)(教材练习改编)已知角 的终边经过点 P(1,2),则 sin .()212222 55(6)(2013济南模拟改编)点 P(tan ,cos )在第三象限,则角 的终边在第二象限()(7)(2011新课标全国卷改编)已知角 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y2x 上,则 cos .()55感悟提升1一个区别 “小于 90的角” 、 “锐角” 、 “第一象限的角”的区别如下:小于 90的角的范围:,锐角的范围:,第一象限角的范围:(,2)(0,2)(kZ)所以说小于 90的角不一定是锐角,锐角是第一象限角,(2k,2k2)反之不成立如(1)、(2)2三个防范 一是注意角的正负,特别是表的指针所

      3、成的角,如(3);二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现;三是如果角 的终边落在直线上时,所求三角函数值有可能有两解,如(7)考点一 象限角与三角函数值的符号判断【例 1】 (1)若 sin tan 0,且0,则角 是( )cos tan A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角(2)sin 2cos 3tan 4 的值( )A小于 0 B大于 0C等于 0 D不存在解析 (1)由 sin tan 0 可知 sin ,tan 异号,从而 为第二或第三象限的角,由0,可知 cos ,tan 异号从而 为第三或第四象限角综上,cos tan 为第三象限角(2)sin 20,cos 30,tan 40,sin 2cos 3tan 40.答案 (1)C (2)A规律方法 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键,对于已知三角函数式符号判断角所在象限,可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号,再判断角所在象限【训练 1】 设 是第三象限角,且cos ,则 是( )|cos 2|22A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析 由 是第三象限角,知 为第二或第四象限角,

      4、2cos ,cos 0,知 为第二象限角|cos 2|222答案 B考点二 三角函数定义的应用【例 2】 已知角 的终边经过点 P(,m)(m0)且 sin m,试判断324角 所在的象限,并求 cos 和 tan 的值解 由题意得,r,sin m.3m2m3m224m0,m.故角 是第二或第三象限角5当 m时,r2,点 P 的坐标为(,),角 是第二象限角,5235cos ,tan .xr 32 264yx5 3153当 m时,r2,点 P 的坐标为(,),角 是第三象限角5235cos ,tan .xr 32 264yx 5 3153综上可知,cos ,tan 或 cos ,tan .6415364153规律方法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值,需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x、纵坐标 y、该点到原点的距离 r.若题目中已知角的终边在一条直线上,此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)【训练 2】 已知角 的终边在直线 3x4y0 上,求 sin ,cos ,tan 的值解 角 的终边在直线 3x4y0 上,在角 的终边上任取一点 P(4

      5、t,3t)(t0),则 x4t,y3t,r5|t|,x2y24t23t2当 t0 时,r5t,sin ,cos ,yr3t5t35xr4t5t45tan ;yx3t4t34当 t0,故22选 C.答案 C4已知点 P落在角 的终边上,且 0,2),则 的值为( (sin 34,cos 34)A B 434C D5474解析 由 sin 0,cos 0 知角 是第四象限的角,3434tan 1,0,2),.cos 34sin 3474答案 D5有下列命题:终边相同的角的同名三角函数的值相等;终边不同的角的同名三角函数的值不等;若 sin 0,则 是第一、二象限的角;若 是第二象限的角,且 P(x,y)是其终边上一点,则 cos .xx2y2其中正确的命题的个数是( )A1 B2 C3 D4解析 正确,不正确,sin sin ,而 与角的终边不相同323323不正确sin 0, 的终边也可能在 y 轴的正半轴上不正确在三角函数的定义中,cos ,不论角 在平面直xrxx2y2角坐标系的任何位置,结论都成立答案 A二、填空题6已知角 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非负半轴,若 P(4,y

      6、)是角 终边上一点,且 sin ,则 y_.2 55解析 因为 sin ,所以 y0,且 y264,所以 y8.y42y22 55答案 87如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 的终边与单位圆交于点 A,点A 的纵坐标为 ,则 cos _.45解析 因为 A 点纵坐标 yA ,且 A 点在第二象限,又因为圆 O 为单位圆,45所以 A 点横坐标 xA ,由三角函数的定义可得 cos .3535答案 358函数 y的定义域为_2cos x1解析 2cos x10,cos x .12由三角函数线画出 x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)x(kZ)2k3,2k3答案 (kZ)2k3,2k3三、解答题9(1)写出与下列各角终边相同的角的集合 S,并把 S 中适合不等式3600 时,才能把 x 看作一个整体,代入 ysin t 的相应单调区间求解2三个防范 一是函数 ysin x 与 ycos x 的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于 y 轴的直线,如 ycos x 的对称轴为 xk,而不是x2k(kZ)二是对于 ytan x 不能认为其在定义域上为增函数,应在每个区间(k

      7、Z)内为增函数,如(6)(k2,k2)三是函数 ysin x 与 ycos x 的最大值为 1,最小值为1,不存在一个值使 sin x ,如(7)32考点一 三角函数的定义域、值域问题【例 1】 (2014广州模拟)已知函数 f(x),求 f(x)的定6cos4 x5sin2x4cos 2x义域和值域解 由 cos 2x0 得 2xk ,kZ,2解得 x ,kZ,k24所以 f(x)的定义域为.x|x R,且x k24,k Zf(x)6cos4 x5sin2 x4cos 2x6cos4 x55cos2x42cos2x13cos2x1.2cos2x13cos2x12cos2x1所以 f(x)的值域为.y|1 y12,或12y 2规律方法 (1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)三角函数值域的不同求法利用 sin x 和 cos x 的值域直接求把形如 yasin xbcos x 的三角函数化为 yAsin(x)的形式求值域利用 sin xcos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域【训练 1】 (1)函数 y

      8、的定义域为_sin xcos x(2)当 x时,函数 y3sin x2cos2x 的最小值是_,最大值6,76是_解析 (1)法一 要使函数有意义,必须使 sin xcos x0.利用图象,在同一坐标系中画出0,2上 ysin x 和 ycos x 的图象,如图所示在0,2内,满足 sin xcos x 的 x 为 , ,再结合正弦、余弦函数的周期是4542,所以原函数的定义域为Error!Error!.法二 利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)定义域为Error!Error!.法三 sin xcos xsin0,将 x 视为一个整体,由正弦函数2(x4)4ysin x 的图象和性质可知 2kx 2k,kZ,4解得 2k x2k,kZ.454所以定义域为Error!Error!.(2)y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)2sin2 xsin x1,令 sin xt,12,1y2t2t122 ,t,(t14)7812,1ymin ,ymax2.78答案 (1)Error!Error! (2) 278考点二 三角函数的奇偶性、周期性和对称性【例 2】 (1)函数 y2cos21 是( )(x4)A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为 的奇函数2D最小正周期为 的偶函数2(2)函数 y2sin(3x)的一条对称轴为 x,则 _.(|2)12解析 (1)y2cos21cossin 2x 为奇函数,T.(x4)(2x2)22(2)由

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