常微分方程与运动稳定性_第三篇
80页1、第三篇 定性理论1第一章 奇点第二章 相平面法第三章 极限环内内 容容2第五章 奇 点第一节 常点与奇点第二节 一次奇点第三节 非线性项对奇点的影响3第一节 常点与奇点研究二维方程组(5.1)(5.2 )点P(x0,y0)称为(5.1)的奇点,若:反之,如 X(x0,y0), Y(x0,y0) 中至少有一个不等于零 ,则此点称为(5.1)的常点。性质:过常点有唯一解,但奇点处解至少不唯一4由于任何奇点都可借助坐标平移而将它化 为原点,因而总认为原点是(5.1)的奇点。在原点邻域内将 X, Y 展为泰劳级数,得:(5.3)X2,Y2 -所有二次项 以上的全体.则此奇点称为一次奇点,反之称为高次奇点。(5.4)如果第二节 一次奇点5(5.5)研究以下线性系统特征方程是(5.6 )其特征根为(5.8 )(5.7 )其中6(5.9)通过非奇异线性变换,可将(5.5)化为:(1) q 0,2 0,p 0,1、2为相 异正实根,积分曲线方向远离原点。 奇点为不稳定结点p17 p20p168(3) q0,p0,p24q0, v0,将(5.5)化为:(5.10)x图5.3yo再变换 x =r cos,
2、 y =r sin(5.10) (5.11)其解为r= r0 e -ut,=0+ v t,相应的轨线如图奇点为稳定焦点 q0, p0, p0, p2-4q=0, 12为一对负重根。这 又可分为两种情况;y图(5.4)x0其轨线形状如图 -稳定临界结点.其解为(b) 初等因子是重的。(5.5) 可化为:p17(5.13)p1610 所有轨线在原 点均与轴相切, 如图所示。 稳定退化结点yx ox oy图5.5当当q 0, p0, p0:1-2 vi,为一对共轭纯虚根将(5.5)化为:(5.14)其解为r=r0,=0+vt, 其 轨线如图-奇点称为中心图5.6x oy12奇点分类如下: 1. q0, p0, p2-4q0, 两根相异负实根稳定结点 ; 3. q0,p0,p2-4q=0, 两根为相等负实根临界结点或 退化结点。 4. q0,p0, 两根为相异正实根不稳定结点 ; 5. q0,p0,p0,p0,p0, 两根为共轭纯虚根中心.13稳定临界结 点或退化结 点 po图5.7q不稳定 焦点稳定 焦点中心不稳定临界结 点或退化结点不稳定结点稳定结点鞍 点高次奇点高次奇点p24q=0汇源1
3、4第三节 非线性项对奇点的影响(A1)X2,Y2 -所有高 于二次项的全体.研究以下非线性系统相应的线 性系统(A2)则原点(零解)若是(A2)的鞍点,正常结点、焦点 ,也是(A1)的鞍点,正常结点、焦点(解的结构相同 ),且稳定性保持不变;但(A2)的临界或退化结点 ,对(A1) 来说其结构可能发生变化。若满足:(A3)15定义2:设O(0, 0) 为孤立奇点, 若点列 An(rn,n),当n时, rn0 ,n0 ,且n0 ,n为An点的方向场向量 与向径夹角的正切,称=0为特征方向。显然,若=0为固定方向,则必为特征方向Ar O3.1 奇点的性质 定义1:设 L 为轨线, 其上的点 A(r,),当 r0时,0 (t ),称L沿固定方 向进入奇点O(0, 0).鞍 点: 0,/2, 3 /2, 结 点: 0,/2, 3 /2, 焦 点: 无 退化结点: /2, 3 /2 或 0, 临界结点:任意方向p7 p8 p9 p10 p11016定义3: 轨线L与=0相交于P ,若P点向径与方向场 夹角为: 0 0(A7)(A8) xyI, III象限内 II, IV象限内 = 0, /2,
4、, 3 /2 特征方向222. 鞍点情况 两特征根均为实根:设10xyI, III象限内 II, IV象限内 = 0, /2, , 3 /2 -特征方向, -正常区域 II (t) , -正常区域 II (t-)oxy结论:当0, , 内只有 一对轨线沿y轴趋于原点(当 t-时); , 内只有一对轨 线沿x轴趋于原点(当t时 ). 原点为鞍点 233. 焦点与中心的情况 焦点情况与结点、鞍点相似:线性部分为焦点 时,加上非线性项仍为焦点且稳定性不变;对于线性部分为中心的情况,加上非线性项后,可 能依然为中心,但也可能变为(不)稳定焦点;例:线性部分为中心x=r cos y=r sin 可见:中心 稳定焦点 不稳定焦点 24引理:系统(A1)的原点为中心的充分必要条件:存 在与时间无关的正则积分:Fi i 次齐次多项式 若满足: X(-x, y)= X(x, y)Y(-x, y)= -Y(x, y)对于:(A8)(8)的轨线对称于y轴若满足: X(x, -y)=-X(x, y)Y(x, -y)= Y(x, y)(8)的轨线对称于 x 轴yx(A1)25能否给出判断稳定性的依据? -问题实
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