大物例题(六、七)

1、2.小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动mgO切向运动谐振动例：判断下列运动是否为简谐振动1.乒乓球在地面上的上下跳动例:如图m=210-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8cmt=0时 x0=-9.8cm, v0=0 取开始振动时为计时零点，写出振动方程； （2）若取x0=0，v00为计时零点，写出振动方程,并计算振动频率。XOmx解： 确定平衡位置 mg=k l 取为原点k=mg/ l 令向下有位移 x, 则 f=mg-k(l +x)=-kx 作谐振动 设振动方程为由初条件得由x0=Acos0=-0.0980 x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0=-Asin0 , sin 0 0, 取0=3/2 x=9.810-2cos(10t+3/2) m对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变XOmx固有频率例:如图所示，振动系统由一倔强系数为k的 轻弹簧 、一半径为R、转动惯量为I的 定滑轮和一质量为m的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任 其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.mm解：取位移轴ox，m在平 衡位置时，设弹簧伸长量 为l，则mm当

2、m有位移x时联立得物体作简谐振动例6-1. 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅A= 0.12 m，周期 T= 2 s， 当t = 0 时，质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06 m,此时刻质点向x 正向运动。求此简谐振动的表达式。解取平衡位置为坐标原点。由题设T= 2 s，则A= 0.12 m由初条件 x0 = 0.06 m，v0 0得简谐振动的表达式为设简谐振动的表达式为例6-2. 如图所示，倔强系数为 8103Nm-1的轻 质弹簧一端固定于A，另一端系一质量为 M=4.99kg的木块静止于水平光滑桌面上。 质量 m=0.01kg的子弹以水平速度v =103 ms-1 射入木块使其作简谐振动。若在木块经过平衡位置且向 右运动时开始计时。取平衡位置为坐标原点、向 右为x轴正方向，求其振动方程。mvMA解：mv=(m+M)V0.01103=(4.99+0.01)VV=2m.s-1A=0.05m例：已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线 如图所示，试求其振动 方程。 解：方法1 用解析法求解设振动方程为故振动方程为v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位由图知方法2：用旋转矢量法辅助求解。15

3、.7 -15.7例7-1. 一列平面简谐波以波速u 沿x轴正向传播，波 长为。已知在x0 = /4 处的质元的振动表达式为 。试写出波函数，并在同一张坐标图 中画出t = T 和t = 5T/4时的波形图。 解 设在x轴上P点处的质点 的坐标为x，则它的振动 要比x0处质点的振动晚P点的振动表达式（波函数）或t = 0 t = T t = 5T/4波形波形平移/4xT T + T/4 xO x0xP 例7-2. 一条长线用水平力张紧，其上产生一列简谐 横波向左传播，波速为20m/s。在t0时它的波形如 图所示。(1) 求波的振幅、波长及周期；(2) 按图设x方向写出波函数；(3) 写出质点振动速度表达式。解 (1) A = 4.0102m， = 0.4m周期sx/m0.10.30.50.724y /cm t0(2) 原点处质点的振动方程x处质点的振动比原点早波函数为(3) x处质点振动速度区别波速与质点振动速度O y解：设原点处质点的振动方程为P点的振动方程令x=0.02例7-3. 图示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图求（1）波动方程（2）P处质点的振动方程0.02Pxu=0.08m

4、/s-0.04y例7-4. 一平面简谐波沿x轴负向传播，波长为，P点处 质点的振动规律如图（1）求出P处质点的振动方程（2）求此波的波动方程（3）若图中d=/2，求O处质点的振动方程t=0yt=1 O= /2解：yt. 1xOPdOA（2）波动方程t 时刻原点的振动为t-d/u时刻P点的振动原点的振动方程为：波动方程（3）O处的振动方程x = 0, d= /2yt. 1xOPdOA例题 位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频 率都是100赫兹，相位差为，其A、B相距30米， 波速为400米/秒，求:A、B连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B联线为X轴， 取A点的振动方程 :在X轴上A点发出的行波方程：B点的振动方程 :B点的振动方程 :在X轴上B点发出的行波方程：因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为 静止的点满足：相干相消的点需满足：因为：1. 用旋转矢量讨论下列各题：（1）右图为某谐振动x-t曲线， 则初位相为 ，P时刻的位相为，振动 方程为 x(m)t(s)-.P5.5(2) 某振动振幅为A，周期为T，设tT/4时，质 点位移为x=

5、 ，且向正方向运动。则振动的 初位相为 ,质点返回原点时的最小时 时刻 x0P 5.5S02.余弦波以波速u0.5m/s沿x轴正向传播，在x=1m的P点振动曲线如图a所示。现另有一以波速u0.5m/s沿x轴负向传播的平面余弦波在t=1s时的波形曲线如图b所示，试问这两列波是否是相干波？41234t(s)y(cm)a41234x(m)y(cm)b3. 沿x轴负向传播的平面谐波在t2秒时的波形曲线如图所示，波速u0.5m/s，则原点O点的振动表达式为 。y(m)x(m)-. P124.设波源位于坐标原点O，波源的振动曲线如图，u5m/s。沿x正方向传播。（1）画出距波源25m处质点的振动曲线；（2）画出t=3s时的波形曲线。y(cm)t(s)-. P242y(cm)t(s)- . 242y(cm)x(m)- . 102025.一简谐波沿x轴正向传播，t=T/4的波形如图所 示，若振动余弦函数表示，且各点振动的初相取 -到之间，则各点的初相为:t=0. xOuabcdYt=T/4解：沿波线方向位相逐点落后由旋转矢量得Y6.如图为沿x轴传播的平面余弦波在t时刻的波形图（ 1）若沿x轴正向传播，

6、确定各点的振动位相（2）若沿x轴负向传播，确定各点的振动位相. xOuabcYtYyu. xOabcyt（2）若沿x轴负向传播，确定各点的振动位相6.如图所示为一平面简谐波在t=2s时刻的波形图求（1）波动方程（2）P点处质点的振动方程（已知A、u、）解：设原点处质点的振动方程为Oyx-. Pu At=2s时O点位相波动方程（2）P点振动方程x= /27.如图（a）为t=0时的波形曲线,经0.5s后波形变为（b）求（1）波动方程（2）P点的振动方程解：O处的振动方程为由图得A=0.1 =/2 =4m(2) P点的振动方程. xuY12345(a)(b)O0.1 P-0.1x=18.如图有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振 动方程为 （1）分别就图中的两种坐标写出其波动方程（2）写出距P点为b的Q点的振动方程OPQXYuPQXOYu 原点的振动方程波动方程原点的振动方程波动方程OPQxYuPQxOYu（2）写出距P点为b的Q点的振动方程将将9.一平面简谐波沿x正方向传播，振幅A10cm，圆频 率 当t=1.0s时，位于x=10cm处的质点a经过 平衡位置向y轴负方向运动。此时,位于x=

7、20cm处的质 点b的位移为5cm, 且向y轴正方向运动。设该波波长 ，试求该波的波动方程。解：设该波的波动方程为：求解的关键是求出波速u 及原点的初位相由题意知t=1.0s时所以xOabu取故得波动方程为得时，b点的位相只能取 （还考虑了 以及 的条件。）注意b点落后于a点，故同一时刻（t=1.0s)a点的位相取同理xOabu10.题中图a表示一水平轻绳，左端D为振动器，右端固 定于B点。t0时刻振动器激起的简谐波传到O点。其波 形如图b所示。已知OB2.4m，u=0.8m/s. 求：（1） 以t0为计时零点，写出O点的谐振动方程；（2）取O 点为原点，写出向右传播的波动方程；（3）若B 处 有半波损失，写出反射波的波动方程（不计能量损失 ）。解：（1）由得由 t =0, y=0 , v0 知： DOx(cm)y(cm)o-40-204B（2 ）向右传播的波动方程（3）反射波的波动方程DOx(cm)y(cm)o-40-204B11. 有一平面波 （SI制），传到隔板的两个小孔A、B上，A、B 两点的间距1， 若A、B传出的子波传到C点恰好相消。求C点到A点的距离。CAB解：所以，相消条件：（1）k=0,1,2.r2r1由几何关系有：所以（2）由（1）、（2）式可得：k=0时，CABr2r1例：某人造地球卫星发出的频率为108HZ无线电信号 ，卫星地面站观测者的本机振荡频率也是108HZ，该 观测者检测无线电信号与本机振荡信号的差拍频率 2400HZ。试求此时卫星在卫星与地面站联线方向间的 分速是多少？u=C两式联立解之：u=C

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