2010年中考数学综合型问题专题复习

1、综合型问题类型之一类型之一 代数类型的综合题代数类型的综合题 代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题主要包括方程、函数、不等式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法等解代数综合题要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深人，各个击破 例例 1.1.(安徽省)刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往 30 千米的A 镇；二分队因疲劳可在营地休息 a（0a3）小时再往 A 镇参加救灾。一分队出发后得知，唯一通往 A 镇的道路在离营地 10 千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用 1小时打通道路，已知一分队的行进速度为 5 千米/时，二分队的行进速度为（4+a）千米/时。若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到 A 镇？若二分队和一分队同时赶到 A镇，二分队应在营地休息几小时？下列图象中，分别描述一分队和二分队离 A 镇的距离 y(千米)和时间 x(小时)的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并说明它们的实际意义。1.【解析】本题是一道包含着分类思想的

2、应用综合应用题。解题前先认真阅读弄清题意，把握好时间信息，二分队在营地不休息，几小时能赶到 A 镇，途中考虑到在塌方地点的停留，解题时不能忽视；在考虑图像时，同样也要分不同的情况去研究。【答案】解：（1）若二分队在营地不休息，则 a0，速度为 4 千米/时，行至塌方处需102.54（小时）因为一分队到塌方处并打通道路需要101 35 （小时） ，故二分队在塌方处需停留 0.5 小时，所以二分队在营地不休息赶到 A 镇需 2.5+0.5+20 48（小时）（2）一分队赶到 A 镇共需30 5+17（小时）（）若二分队在塌方处需停留，则后 20 千米需与一分队同行，故 4+a5，即 a=1，这与二分队在塌方处停留矛盾，舍去；（）若二分队在塌方处不停留，则（4+a）(7a)=30，即 a23a+20,解得 a1=1，a2=2均符合题意。答：二分队应在营地休息 1 小时或 2 小时。 （其他解法只要合理即给分）(3)合理的图像为（b） 、 （d）图像（b）表明二分队在营地休息时间过长（2a3） ，后于一分队赶到 A 镇；图像（d）表明二分队在营地休息时间恰当（1a2） ，先于一分队赶到 A 镇

3、。同步测试：同步测试：1(沈阳市）一辆经营长途运输的货车在高速公路的 A 处加满油后，以每小时 80 千米的速度匀速行驶，前往与 A 处相距 636 千米的 B 地，下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量 y（升）与行驶时间 x（时）之间的关系：（1）请你认真分析上表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示 y 与之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式；x（不要求写出自变量的取值范围）（2）按照（1）中的变化规律，货车从 A 处出发行驶 4.2 小时到达 C 处，求此时油箱内余油多少升？（3）在（2）的前提下，C 处前方 18 千米的 D 处有一加油站，根据实际经验此货车在行驶中油箱内至少保证有 10 升油，如果货车的速度和每小时的耗油量不变，那么在 D 处至少加多少升油，才能使货车到达 B 地 （货车在 D 处加油过程中的时间和路程忽略不计）类型之二类型之二 几何类型的综合题几何类型的综合题几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与

4、创新能力 解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的例例 2.2.（龙岩市）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 交 x 轴于 A、B 两点，直线 FAx轴于点 A，点 D 在 FA 上，且 DO 平行O 的弦 MB，连 DM 并延长交 x 轴于点 C.（1）判断直线 DC 与O 的位置关系，并给出证明；（2）设点 D 的坐标为（-2，4） ，试求 MC 的长及直线 DC 的解析式.【解析】此题考查圆的切线的判定方法及一次函数解析式的判定，(1)切线的判定要从定义上去判定:过半径的外端,且垂直于半径的直线为圆的切线,所以此题要连接OM,然后证明OMDC,这里平行线对角的转化起到了关键的作用； (2) MC的长借助于勾股定理建立方程而求出,要求直线DC的解析式需要再求出点C的坐标根据MC的长即可以求出点C的坐标（AA，0）,从而求出直线DC的解析式.10 3E【答案】 （1）答：直线 DC 与O 相切于点 M . 证明如下：连 OM， DOMB， 1=2，3=4 .OB=OM，1=3 .2=4 . 在DAO 与D

5、MO 中，24AOOMDODO DAODMO . OMD=OAD .由于 FAx 轴于点 A，OAD=90.OMD=90. 即 OMDC . DC 切O 于 M. （2）解：由 D（2，4）知 OA=2（即O 的半径） ，AD=4 . 由（1）知 DM=AD=4，由OMCDAC，知AA= AA= AA= AA，AC=2MC. MC ACEOM ADE2 4E1 2E在 RtACD 中，CD=MC+4.由勾股定理，有(2MC)2+42=(MC+4)2，解得MC= AA或MC=0（不合，舍去）.8 3EMC的长为AA，点C（AA，0）. 8 3E10 3E设直线 DC 的解析式为 y = kx+b . 则有 解得 . bkbk243100 .bk2543直线DC的解析式为 y =AAx+AA. 3 4E5 2E同步测试：同步测试：2(益阳) ABC 是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形 DEFG，使正方形的一条边 DE 落在 BC 上，顶点 F、G 分别落在 AC、AB 上.证明：BDGCEF；. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.小聪和小明各给出了一种想法，请你在a 和b 的

6、两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解，只以a 的解答记分.a. 小聪想：要画出正方形 DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出 BD 和 CE 的长，从而确定 D 点和 E 点，再画正方形 DEFG 就容易了. 设ABC 的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .b. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是： 在 AB 边上任取一点G ，如图作正方形 GDEF ；连结 BF并延长交 AC 于 F；作 FEFE交 BC 于E，FGFG交 AB 于 G，GDGD交 BC 于 D，则四边形 DEFG 即为所求.你认为小明的作法正确吗？说明理由.类型之三类型之三 几何与代数相结合的综合题几何与代数相结合的综合题几何与代数相结合的综合题是初中数学中涵盖广、综合性最强的题型.它可以包含初中阶段所学的代数与几何的若干知识点和各种数学思想方法，还能有机结合探索性、开放性等有关问题；它既突出考查了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容，如函数、方程、不等式、三角形、四边形、相似形、圆等.它不但考查学生数学基础知识和灵活

7、运用知识的能力还可以考查学生对数学知识迁移整合能力；既考查学生对几何与代数之间的内在联系，多角度、多层面综合运用数学知识、数学思想方法分析问题和解决问题的能力，还考查学生知识网络化、创新意识和实践能力.例例 3.3.（恩施自治州）如图 1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，BAC=AGF=90，它们的斜边长为 2，若ABC固定不动，AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点 D 不与点 B 重合,点 E 不与点 C 重合),设BE=m，CD=n.图 1（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求 m 与 n 的函数关系式，直接写出自变量 n 的取值范围. （3）以ABC的斜边BC所在的直线为 x 轴，BC边上的高所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系(如图 2).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证 BD +CE =DE . 222图 2（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系 BD +CE =DE 是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,222请说明理由.【解析】

8、解决问题（1） （2）的关键是利用图中的相似三角形；解决问题（3）时利用（2）中的 m、n 的关系求出点 D 的坐标，进而分别求出BD2、CE2、DE2的值；解决问题（4）时，通常方法是先猜想其结论成立，根据结论的特征，尝试构造直角三角形，则问题可轻松获解.【答案】解：(1)ABEDAE, ABEDCABAE=BAD+45,CDA=BAD+45BAE=CDA又B=C=45ABEDCA (2)ABEDCA，CDBA CABE由依题意可知CA=BA=2，m=nm22n2自变量 n 的取值范围为 1n2. (3)由BD=CE可得BE=CD,即 m=nm=，m=n=n22OB=OC=BC=1，OE=OD=1，D(1, 0) 2122BD=OBOD=1-(1)=2=CE, DE=BC2BD=2-2(2)=222222BD+CE=2 BD=2(2) =128, DE=(22) = 1282222222222BD+CE=DE 222(4)成立证明:如图,将ACE绕点A顺时针旋转 90至ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,ABH=C=45,旋转角EAH=90.连接HD,在EAD和HAD中AE=AH

9、, HAD=EAH-FAG=45=EAD, AD=AD.EADHADDH=DE又HBD=ABH+ABD=90BD+HB=DH222即BD+CE=DE222同步测试：同步测试：3.（茂名）如图，在平面直角坐标系中，抛物线=+，经过A（0，4） 、y32x2bxcB（，0） 、 C（，0）三点，且-=5x1x2x2x1（1）求、的值；bc（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点 P，使得四边形BPOH 是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点 P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由4 （嘉兴市）如图，直角坐标系中，已知两点，点在第一象限且(0 0)(2 0)OA，B为正三角形，的外接圆交轴的正半轴于点，过点的圆的切线交轴OABOAByCCx于点D（1）求两点的坐标；BC，（2）求直线的函数解析式；CD（3）设分别是线段上的两个动点，且平分四边形的周长EF，ABAD，EFABCD试探究：的最大面积？AEF同步测试答案：同步测试答案：1.【解析】从表格中的数据我们可以看出当 x 增加 1 时，对应 y 的值减小 20，所以 y 与 x之间可能是一次函数的关系，然后设出一次函数关系式，求出其关系式，然后进行验证.【答案】 （1）设 y 与 x 之间的关系为一次函数，其函数表达式为 y=kx+b将(0,100)，(1,80)代入上式得，解得100 80b kb 20 100k b 20100yx 验证：当 x=2 时，符合一次函数；20 2 10060y 当 x=2.5 时，也符合一次函数20

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