测试设备的精度估计

1、 测试设备的精度估计 钱大馨 测试设备的精度是一个至关重要的问题。如何提高测试设备的精度，如何确定和分析测试设备的精度，如何报道测试设备的精度，是研制和评价测试设备的基本问题。以下是一份读书笔记，所引公式的证明一概省略，内容仅供参考。 第一部分 误差分析基础 测试测试是从测试对象取得信息，并据以评价其特性的唯一手段。测试数据测试数据就是这些信息的数字化反映。测试数据既反映着测试对象的特性，也包含有测试设备的特性。科学地分析全部测试数据，才能真正得到测试对象的特性，也才能真正把握住测试设备的特性，从而正确地报道测试结果。 1. 测量误差测量误差测任何测量都包含有误差。所谓误差，就是测试数据与被测对象的真实特性之间的差异。 被测对象的某一参数， 在一定条件下有某一客观存在的值， 我们称之为真值真值，记为 Xo。实际的测量值为 x，两者之间的误差为： UxXo (1) 误差按其性质和产生的原因，可分为三类： a) 系统误差系统误差：又叫准确度误差或固定误差。在同一条件下测量同一物理量时，系统误差的绝对值和符号保持恒定。 b) 随机误差随机误差：又叫精密度误差。在实际相同的条件下测量同一物理量

2、时，大小和方向作无规则变化的误差。 c) 粗差粗差：明显歪曲测量结果的误差，即所谓异常数据。粗差是应当剔除的。 我们通常所说的测量误差，就是系统误差和随机误差的综合。为了简明和便PDF created with pdfFactory Pro trial version 4 正态分布的概率密度为： () ()0；愈小，则分布愈集中；愈大，则分布愈分散。 0，21 的正态分布称为标准正态分布，标准正态分布的概率密度和分布函数均有现成的表格可查。任意正态分布只要作变换-xy =，代入(6)中，即变为 Y 的标准正态分布了。 6. 平均值和方差平均值和方差测为了对上节所引入的正态分布参数和， 从理论上有进一步的了解， 我们引用几个描述分布函数特征的特征数。最重要的特征数有以下两个： a) 平均值平均值测种 况概-f(x)dxxxE (7) 符号 E 是表示随机变量及其函数的期期望望值值的符号。 对于正态分布来说，正好等于随机变量 x 的平均值，即Ex。 b) 方差方差测值系种况值系概-22f(x)dx-x-xE (8) 其中Ex。 显然方差方差表征随机变量 x 相对于它的平均值分布的离散PDF

3、 created with pdfFactory Pro trial version 5 程度，而且可以证明，正态分布的参数2就是随机变量 x 的方差，即2()2-xE，通常又称为标准偏差。 有了平均值和方差的概念，我们就可将第 1 节中所下的误差定义作理论上的说明。假定在一定条件下用某测试设备对某一物理量 X 进行测量。设 X 的真值为 Xo，任一次观测值为 xi，该次的观测误差 U 记为： ()()UUX-xX-xUoioi+=+= (11) 式中： oX-U= (12) 称为系统误差(准确度)，它表明观测平均值与真值不符的程度。 -xUi= (13) 称为随机误差(精密度)，它表明观测值对其分布中心的偏离程度。这种偏离完全由2来决定。利用正态分布表，可求得如下数量关系： K P-kxi+k 1.96 0.95 2.576 0.99 3 0.997 随机误差超过 3的概率只有 0.003， 可以忽略不计。 所以 3称为最大随机误差，只有在非常精密的质量控制系统中才使用。 这里，要着重指出一点：和和2是相应于一定的试验条件的，外界条件和是相应于一定的试验条件的，外界条件和试验设备的任

4、何变化，都会引起试验设备的任何变化，都会引起和和2发生变化，即系统误差和随机误差发生变化，即系统误差和随机误差要发生变化要发生变化。所以，只是在同一条件或大体上同一条件下的测量，才能叫等精度测量。不等精度的测量就不能用上述这种简单的办法来估计测量误差。 7. 母体和子样母体和子样望上面我们所讲的分布函数，是对同一测量的测试数据的全体而言的，即对无限个试验数据而言的。我们把所研究对象的某特性的全体，称之为母体母体。每个测试数据称之为个体个体。但母体只是一个假想的概念，因为我们不能作无限次测量。我们所能了解的只是母体的一部分，即若干个采样数据的集合，这PDF created with pdfFactory Pro trial version 6 一部分我们称之为子样子样。子样中所包含的个体数目称为子样大小子样大小。某一测试条件下的子样是相应于同一条件下的母体的。 数据处理的任务，就是由子样来推断母体数据处理的任务，就是由子样来推断母体。这样获得的结论，必然包含有不不确定性确定性。造成不确定性的原因有两个： a) 是由母体的本性所造成的，即由测试设备、试验环境、测试对象等等的不确定性所造成的

5、。这种不确定性用母体参数和和2来表征，我们称之为第一类不确定性，或母体不确定性母体不确定性。 b) 是由子样推断母体的过程中产生的。因为子样的数据不能包含母体的全部信息，所以，用子样来推断母体参数和和2时，必然包含有不确定性。这种不确定性我们称之为第二类不确定性，或子样不确定性子样不确定性。 误差，就是这两种不确定性的综合。 减小第一类不确定性，从提高测试系统的稳定性和测量仪表的精度着手；减小第二类不确定性，从改进试验设计和数据处理的方法着手。 由于我们要利用子样来推断母体，所以抽取子样必须是随机的抽取子样必须是随机的，它应满足以下两个要求： a) 代表性：要求子样中的元素 xi具有与母体相同的分布。 b) 独立性：要求子样中的各个元素是相互独立的随机变量。 为了根据子样来推断母体，我们针对不同问题的需要，常构造出子样的各种函数，这些函数我们称之为统计量统计量。统计量也是随机变量，也有它自己的分布。构造统计量的根本目的，就是要估计出母体的和2来。 8. 母体参数的估计 为了估计母体参数和2，我们定义了两个重要的统计量： a) 子样均值子样均值X： =n1iixn1X (14) b) 子

6、样子样方差方差2s ： PDF created with pdfFactory Pro trial version 7 () =n1i2 i2X-x1-n1s (15) 统计理论证明：子样均值X的数学期望值等于母体平均值，子样方差2s 的数学期望值等于母体方差2。即： EX= (16) E2s 2 (17) 所以，可以用X和2s 作为和2的估计量，并称满足(16)和(17)式的估计量为和2的无偏估计。 但这并不是说，任何大小的子样的均值X和方差2s 都等于母体的均值和方差2。这两者是有差异的。X与，2s 与2的相符程度，与子样大小有关。通常，当 n3050 时，用X和2s 来代替和2，误差不大。这样的子样称为大大子样子样。n 小于此值的子样，叫做小小子样子样。用小子样的均值和方差来代替母体的均值和方差，有多大误差，我们在下面几节中研究。 9. 正态母体均值的置信区间 统计理论证明： 正态子样的均值X也服从正态分布， 其均值为母体的均值，其方差为母体方差的 1n。其分布可记为：N(，2/n)，N 表示正态分布。由此可见，X围绕着母体均值以较小的方差2/n 散布。因此，用子样均值X来报道试

7、验结果，比用单次试验数据有较高的精度。因为nX=，所以，n 愈大则X愈小。但 n 大于 10 以后，n 的变化渐趋缓慢，一般取 n=1015 为宜。 在X的分布中，包含有母体方差2，它是不知道的，在此情况下还无法估计出子样均值与母体均值相符的程度。为此，我们引进一个新的统计量： PDF created with pdfFactory Pro trial version 8 ns-XT= (18) 统计理论证明，它服从自由度为 n-1 的 些 分布分布。些 分布分布又称为学生氏分布，t分布的形状如下图所示，其分布函数也列成表可查。 按照统计学的概念，我们可以写成以下的表达式： = tns-XP (19) 上式可读成tTt-的概率为 。上式还可改写成： = +sntXsnt-XP (20) 上式可读成：母体均值在置信度 下的置信区间为(sntXsnt-X+，),可写成： = Xsnt(21) 根据测定的 和子样大小 n， 即可由 t分布表查出t ， 从而求出误差试snt，这就是用子样均值X来报道试验结果(母体均值)的随机误差。 当 n 30 时，t分布于比于标准的正态分布，此时按正态分布表

8、来查t 就可以了。 PDF created with pdfFactory Pro trial version 9 第二部分 测试设备的精度估计 1. 测试设备精度的含义测试设备精度的含义望用某一测试设备对被测对象的某一物理量进行正确的测量时， 所得到的任一用某一测试设备对被测对象的某一物理量进行正确的测量时， 所得到的任一次测试数据与该物理量的真值之间，在合理的置信度下的最大可能的误差，次测试数据与该物理量的真值之间，在合理的置信度下的最大可能的误差，定义为该测试设备的精度。定义为该测试设备的精度。测所谓真值真值， 应当是由较起标准真定义并估出其标准的。 任何测试设备(包计标准仪表)所估出的测量值测量值， 都是这个真值在把有一定误差下的复现复现， 是从这个真值溯源溯源而来的。大有这个标准，一馨测量结果就是去了比较的意义。 由于我们将测试设备的精度定义为一次测量时误差的合理极限，当然它应当是系统误差和随机误差的综合。这个综合值我们通常又称之为该测量系统的不确定度不确定度。 由于这个量是随机量(随机误差)和非随机量(系统误差)的综合， 因此，它不可能严格定义为统计学上的，而只能是一个一统计一个为的标准，通常取作系统误差的极限和若干代数的随机误差的关合。因此，合理的置信合理的置信度度也应当从这个意义上去理解。 原则上讲， 系统误差(准确度)和随机误差(精密度)都可通过节准加以确定。 但在谓多情况下， 真值是问知的， 即该物理量的值无法由一个标准量被实而来，如我们之常测定的制何量就是如此。在此情况下，用试验来确定系统误差也就不可能了，此时系统误差只有提高，有的确定和如验加以和断，以便估计出一个合理的上限合理的上限。所谓合理的上限，应当有 95 的析报面，当然这是一种极为的估计。 2. 测试系统测试系统测测试设备通常由若干仪表按特定的测试条件连于起来而构成一个测试系统,该系统我作于一定的研制条件下。因此，测试方法、系统控制的稳定性、仪表的精度和环境的稳定性，都为际两到测试设备的精度，估计测试设备的精度时，应综合考本这几方面的价基。 对测试设备的精度估计，应按以下步使进行：

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