2018新中考数学专题复习试题汇编全套
181页1、专题专题 1 1 线段、角的计算与证明问题线段、角的计算与证明问题第一部分第一部分 真题精讲真题精讲【例 1】如图,梯形ABCD中,ADBC,9038BDCDBDCADBC,求AB的长【思路分析】线段,角的计算证明基本都是放在梯形中,利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解,并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是 AB,已知的是 AD,BC 以及BDC 是等腰直角三角形,所以要把未知的 AB 也放在已知条件当中去考察.做AE,DF 垂直于 BC,则很轻易发现我们将 AB 带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中.于是有解如下.【解析】作AEBC于EDFBC,于F DFAE,ADBC ,四边形AEFD是矩形3EFADAEDF,BDCDDFBC,DF是BDC的BC边上的中线19042BDCDFBCBF,4431AEBEBFEF,在RtABE中,222ABAEBE224117AB【例 2】已知:如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,90DCB,ACBD于点 O,2,4DCBC,求AD的长. ODC
2、BA【思路分析】 这道题给出了梯形两对角线的关系.求梯形上底.对于这种对角线之间或者和其他线段角有特殊关系(例如对角线平分某角)的题,一般思路是将对角线提出来构造一个三角形.对于此题来说,直接将 AC 向右平移,构造一个以 D 为直角顶点的直角三角形.这样就将 AD 转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一,而另一条线段 BC 是已知的.于是问题迎刃而解.OEDCBA【解析】过点D作/ /DEAC交BC的延长线于点E. BDEBOC . ACBD于点O, 90BOC. 90BDE. / /ADBC, 四边形ACED为平行四边形. ADCE. 90 ,90BDEDCB , 2DCBC CE. 2,4DCBC, 1CE . 1AD 此题还有许多别的解法,例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系,证明ACD 和 DBC 相似,从而利用比例关系直接求出CD。有兴趣的考生可以多发散思维去研究。【例 3】如图,在梯形ABCD中,ADBC,90B,=25ADBC ,E为DC中点,4tan3C 求AE的长度EDCBA【思路分析】 这道题是东城的解答题第二部分第一道,就是我们所谓提难度的门槛题。乍
3、看之下好象直接过 D 做垂线之类的方法不行.那该怎样做辅助线呢?答案就隐藏在 E 是中点这个条件中.在梯形中,一腰中点是很特殊的.一方面中点本身是多对全等三角形的公共点,另一方面中点和其他底,腰的中点连线就是一些三角形的中线,利用中点的比例关系就可以将已知条件代入.比如这道题,过中点 E 做BC 的垂线,那么这条垂线与 AD 延长线,BC 就构成了两个全等的直角三角形.并且这两个直角三角形的一个锐角的正切值是已经给出的.于是得解.FEMDCBA【解析】过点E作BC的垂线交于BC点F,交AD的延长线于点M. 在梯形ABCD中,ADBC,E是DC的中点,MMFC DECE ,在MDE和FCE中,MMFC DEMCEF DECE MDEFCE. EFME DMCF,25ADBC,3 2DMCF.在Rt FCE中,4tan3EFCCF,2EFME.在Rt AME中,2 23652222AE【总结】 以上三道真题,都是在梯形中求线段长度的问题.这些问题一般都是要靠做出精妙的辅助线来解决.辅助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组
4、合,从而达到利用已知求未知的目的.一般来说,梯形的辅助线主要有以下 5 类:过一底的两端做另一底的垂线,拆梯形为两直角三角形+ 一矩形平移一腰,分梯形为平行四边形+ 三角形延长梯形两腰交于一点构造三角形平移对角线,转化为平行四边形+三角形连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形以上五种方法就是梯形内线段问题的一般辅助线做法。对于角度问题,其实思路也是一样的。通过做辅助线使得已知角度通过平行,全等方式转移到未知量附近。之前三道例题主要是和线段有关的计算。我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。【例 4】 如图,在梯形CDAB中,ABDC,DB平分ADC,过点A作AEBD,交CD的延长线于点E,且2CE ,30BDC,3AD ,求CD的长ABCDE【思路分析】 此题相对比较简单,不需要做辅助线就可以得出结果。但是题目中给的条件都是此类角度问题的基本条件。例如对角线平分某角,然后有角度之间的关系。面对这种题目还是需要将已知的角度关系理顺。首先根据题目中条件,尤其是利用平行线这一条件,可以得出(见下图)角 C 与角 1,2,3 以及角
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