线性代数 线性代数方程组的解
5页1、1齐次方程组齐次方程组齐次方程组齐次方程组齐次方程组齐次方程组齐次方程组齐次方程组第二节第二节第二节第二节第二节第二节第二节第二节线性代数方程组的解线性代数方程组的解线性代数方程组的解线性代数方程组的解线性代数方程组的解线性代数方程组的解线性代数方程组的解线性代数方程组的解非齐次方程组非齐次方程组非齐次方程组非齐次方程组非齐次方程组非齐次方程组非齐次方程组非齐次方程组4.2线性代数方程组的解线性代数方程组的解线性代数方程组的解线性代数方程组的解一个存在解的线性代数方程组称为是一个存在解的线性代数方程组称为是一个存在解的线性代数方程组称为是一个存在解的线性代数方程组称为是一个存在解的线性代数方程组称为是一个存在解的线性代数方程组称为是一个存在解的线性代数方程组称为是一个存在解的线性代数方程组称为是相容的相容的相容的相容的相容的相容的相容的相容的, , , , , , , ,否则就是不相容或矛盾方程组否则就是不相容或矛盾方程组否则就是不相容或矛盾方程组否则就是不相容或矛盾方程组否则就是不相容或矛盾方程组否则就是不相容或矛盾方程组否则就是不相容或矛盾方程组否则就是不相容或矛盾方程组. . .
2、 . . . . .理性地描述一般齐次理性地描述一般齐次理性地描述一般齐次理性地描述一般齐次理性地描述一般齐次理性地描述一般齐次理性地描述一般齐次理性地描述一般齐次 线性线性线性线性线性线性线性线性 方程组的通解以及非齐方程组的通解以及非齐方程组的通解以及非齐方程组的通解以及非齐方程组的通解以及非齐方程组的通解以及非齐方程组的通解以及非齐方程组的通解以及非齐次方程组相容的条件和相容线性代数方程组解的结次方程组相容的条件和相容线性代数方程组解的结次方程组相容的条件和相容线性代数方程组解的结次方程组相容的条件和相容线性代数方程组解的结次方程组相容的条件和相容线性代数方程组解的结次方程组相容的条件和相容线性代数方程组解的结次方程组相容的条件和相容线性代数方程组解的结次方程组相容的条件和相容线性代数方程组解的结利用矩阵的概念可利用矩阵的概念可利用矩阵的概念可利用矩阵的概念可利用矩阵的概念可利用矩阵的概念可利用矩阵的概念可利用矩阵的概念可构构构构构构构构. . . . . . . .4.2.1齐次线性代数方程组齐次线性代数方程组齐次线性代数方程组齐次线性代数方程组考察考察考察考察 n 个未知数的
3、齐次线性代数方程组个未知数的齐次线性代数方程组个未知数的齐次线性代数方程组个未知数的齐次线性代数方程组:11 1122121 122221 12200.0nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax+= += +=111212122212.Annmmmnaaaaaaaaa = 系数系数系数系数 矩阵矩阵矩阵矩阵方程组的方程组的方程组的方程组的 矩阵表示矩阵表示矩阵表示矩阵表示0Ax = = = =定理定理定理定理 3(1) 齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组有非平凡解有非平凡解有非平凡解有非平凡解的充分必要条件是的充分必要条件是的充分必要条件是的充分必要条件是 ( )A 若, 则非齐次方程组无解通解表达式中含有通解表达式中含有通解表达式中含有通解表达式中含有 n-r(A) 个任意常数.(1)( )( ).AArr=,若若若若则则则则非非非非齐齐齐齐次次次次方方方方程程程程组组组组相相相相容容容容3证明证明证明证明11121121222212.nnmmmnmA = = = = aaabaaabaaab对于增广矩阵进行行初等变换对于增广矩阵进行
4、行初等变换对于增广矩阵进行行初等变换对于增广矩阵进行行初等变换,1AN将系数矩阵变成梯形矩阵1AN 12() = = = =T m 1N x =只需要讨论这个方程组就可以了只需要讨论这个方程组就可以了只需要讨论这个方程组就可以了只需要讨论这个方程组就可以了原方程组原方程组原方程组原方程组 Ax=b 化为同解方程组化为同解方程组化为同解方程组化为同解方程组11121121222212.nnmmmnmA = = = = aaabaaabaaab( )( )AArrk=当时, 增广矩阵化为111211121.000.000nkkknkkm+ ( )( )AArr=可以推出10.km+=( )( )AArrkn=当时,1.N x nn=方程组 的系数矩阵是可逆矩阵存在惟一解存在惟一解存在惟一解存在惟一解:1 1xN = ( )( )AArrkn=当时,111211121.000.000nkkknkkm+ 1,.km+中中中中至至至至少少少少有有有有一一一一个个个个不不不不等等等等于于于于零零零零此时第此时第此时第此时第 k+1个方程变成个方程变成个方程变成个方程变成因此方程无解因此方程无解因此
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